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1 Introduction Les statistiques est un ensemble de résultats obtenus à la suite

1 Introduction Les statistiques est un ensemble de résultats obtenus à la suite de nombreuses ob- servations d’un même phénomène présenté le plus souvent sous forme de tableaux ou de graphiques. Les statistiques économiques concernant la production marocaine de phos- phates, la mesure des précipitations sur certaines régions pendant une année, etc, sont des exemples. Le statisticien doit interpréter ces données, établir des relations entre les faits observés en mettant en relief celles dues à l’ordre normal des choses et en écartant celles résultant de phénomènes aberrants. Pour cela, il doit utiliser des méthodes mathématiques constituant ce qu’on appelle la statistique. La statistique est donc un ensemble de moyens permettant d’interpréter les statistiques. Cette science ne s’applique qu’aux ensembles suﬃsamment nombreux. En eﬀet, certaines régularités (lois régissant certains phénomènes) n’apparaissent qu’aux niveau d’ensembles nombreux. Les erreurs faites lors d’une expérience sur un petit nombre d’essais ont beau- coup plus d’incidences (par exemple en travaux pratiques de Physique ou Chimie). Le champ d’application de la statistique est très vaste. Voici quelques domaines où elle joue un rôle fondamental : Physique (Physique statistique), Chimie (polymère . . . ), Biologie (régénération de cellules), Astronomie, Agronomie, Industrie, Économie, Démographie, . . . . En général, un cours de probabilité et statistique comprend trois parties : – Statistique descriptive, – Calcul des probabilités, – Statistique mathématique. La statistique descriptive consiste à classer des données, les organiser et les présenter de façon claire, décrire ou analyser une population donnée sans tirer de conclusions pour une population plus grande. Le calcul des probabilités constitue l’outil mathématique. En ﬁn, la statistique mathématique permet grace aux méthodes mathématiques de tirer des conclusions sur toute la population à partir d’un échantillon (principe des sondages). Le cours de probabilité du module M312 traitera essentiellement du calcul des proba- bilités, son but est de vous familiariser avec le raisonnement probabiliste. A ses débuts, la théorie du “calcul des probabilités” a concerné principalement l’étude et la modélisation des jeux de hasard. Les premiers travaux sont attribuées à Pascal et à Fermat (1654) sur des problèmes posés par le Chevalier de Méré, joueur professionnel et mathématicien amateur. La probabilité est déﬁnie comme le nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles et la solution fait souvent appel au dénombrement. Imaginons maintenant que je joue une partie de tennis contre le Numéro 1 mondial. Si on veut bien admettre, par indulgence, qu’il y’a deux solutions pour le vainqueur (lui ou moi ! !), il ne paraît pas du tout raisonnable de leur attribuer la même probabilité. Il faut donc généraliser la notion de probabilité, c’est ce qui est fait au Chapitre 1 (espace probabilisé). On y déﬁnit dans sa plus grande généralité la notion de probabilité sur un ensemble ﬁni et même dénombrable. C’est la partie “probabilités discrètes”. Dans certaines situations, le cadre théorique précédent est insuﬃsant, c’est le cas en particulier quand on s’intéresse à une mesure physique (poids, tension électrique, etc) qui prend ses valeurs dans R qui n’est pas dénombrable. Ce sont alors d’autres techniques qui sont employées au chapitre 7 (variables aléatoires continues) avec la notion de densité de probabilité. C’est la partie “probabilités continues”. N-E.Fahssi www.lirepdf.com Chapitre 1 Espaces probabilisés Introduction Le calcul des probabilités est la science qui modélise “l’aléatoire”, c’est à dire qui propose des modèles pour comprendre les phénomènes dus au hasard. Son but est de fournir le cadre théorique général pour déterminer des lois de répartition abstraites pouvant s’adapter plus ou moins parfaitement aux données empiriques. La modélisation du calcul des probabilités a été inventé par A. N. Kolmogorov dans un livre paru en 1933. Elle est faite à partir d’objets que nous allons décrire dans ce chapitre. 1.1 Notion d’expérience aléatoire Il y a dans la nature des phénomènes qui se déroulent de façon déterministe (sur terre une pierre tombe toujours si elle est lâchée) et d’autres de manière aléatoire : si on lance une pièce de monnaie, on ne sait pas à l’avance si elle tombe sur Pile ou Face. Une expérience aléatoire est déﬁnie comme une expérience pour laquelle les conditions ne déterminent pas un résultat unique, mais laissent place à plusieurs résultats. De plus, cette expérience peut être répétée dans les mêmes conditions autant de fois que l’on veut (on dit aussi “épreuve”). Par exemple, le comptage du nombre de particules émises par une substance radioactive dans un intervalle de temps donné, est une expérience aléatoire. 1.2 Notion de résultat Soit E une expérience aléatoire. On doit, en premier lieu, recenser l’ensemble des résul- tats possibles de E. Cet ensemble sera noté Ω(appelé aussi ensemble fondamental). Exemple 1.2.1 Si l’expérience est le jet de dé, l’ensemble fondamental est donné par Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemple 1.2.2 L’univers de l’expérience aléatoire qui consiste à jeter deux dés de couleurs diﬀérentes et noter les faces qui apparaissent est l’ensemble des couples (i, j) où i est le numéro de la face supérieure du premier dé et j est celui de la face supérieure du deuxième dé : Ω= {(i, j), 1 ≤i ≤6, 1 ≤j ≤6} Le résultat d’une expérience aléatoire est un élément déterminé de Ω. 2 www.lirepdf.com CHAPITRE 1. ESPACES PROBABILISÉS 3 1.3 Notion d’événement Soit E une expérience aléatoire et Ωl’ensemble des résultats possibles. On s’interesse au fait qu’un certain événement se trouve réalisé à la suite de l’expérience. Un événement A sera caractérisé par le sous-ensemble A de Ωdes résultats ω ∈Ωqui le réalisent. {ω} est appelé événement élémentaire. Exemple 1.3.1 On lance deux dés de couleurs diﬀérentes : Ω= | [1, 6] |×| [1, 6] |. Si on considère l’événement A : « la somme des points est supérieure ou égale à dix », celui-ci est représenté par la partie {(6, 4), (5, 5), (4, 6), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}. Un événement se réalise si le résultat de l’épreuve est un des événements élémentaires qui le composent. On établit ainsi une correspondance entre le langage des événements et le langage ensembliste. On déﬁnit sur les événements des opérations logiques correspondant aux opé- rations déﬁnies sur les parties d’un ensemble. Le tableau suivant montre la correspondance de vocabulaire et de notations. Événements Sous-ensembles Notations Événements A, B, C Parties A, B, C de Ω A ⊂Ω Événement élémentaires {ω} Élément ω ∈Ω ω ∈Ω ω réalise l’événement A ω est un élément de A ω ∈A Événement certain Tous les résultats possibles Ω Événement impossible Partie vide de Ω ∅∈P(Ω) Événement contraire Complémentaire de A dans Ω ¯ A A ou B Réunion de A et B A ∪B A et B Conjonction de A et B A ∩B A et B incompatibles Parties disjointes A et B A ∩B = ∅ A implique B A contenu dans B A ⊂B Exemple 1.3.2 Soit l’expérience qui consiste à jeter un dé et noter sa face supérieur et soient les événements A : « point inférieur ou égal à 3 », B : « point supérieur ou égale à 3 », P : « point pair » et I : « point impair ». Les événements A et B se réalisent simultanément si et seulement si l’événement A ∩B = {3} se réalise. l’événement « A ou B se réalisent », ou, autrement dit, « au moins un des deux événements A et B se réalise » est déterminé par la réunion A ∪B = Ωqui est l’événement certain. Les événements P et I sont incompatibles car P ∩I = ∅. En ﬁn, l’événement « marquer un 1 ou un 3 » implique l’événement A : {1, 3} ⊂A. 1.4 Déﬁnition d’un espace probabilisé A chaque événement on associe un nombre positif compris entre 0 et 1, sa probabilité. La théorie moderne du calcul des probabilités repose sur l’axiomatique suivante Déﬁnition 1.4.1 Soit Ωl’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire et T une famille de parties de Ω(i.e, T ⊂P(Ω)). On appelle probabilité sur (Ω, T ) une application P de T dans [0, 1] telle que – P(Ω) = 1 (probabilité de l’événement certain est égale à 1) N-E.Fahssi www.lirepdf.com CHAPITRE 1. ESPACES PROBABILISÉS 4 – Pour tout ensemble dénombrable d’événements deux à deux incompatibles A1, A2, . . . An . . . on a P(A1 ∪A2 ∪· · · ∪An ∪· · · ) = P(A1) + P(A2) + · · · + P(An) + · · · Le triplet (Ω, T , P) s’appelle espace probabilisé. Remarque 1.4.2 Dans la déﬁnition 1.4.1, la famille de parties T n’est pas arbitraire. Elle doit vériﬁer les propriétés suivantes – Ω∈T – ∀A ∈T , ¯ A ∈T (stabilité par complémentation) – Pour toute suite (An)n∈N d’éléments de T , A1 ∪A2 ∪· · · ∪An ∪· · · est encore un élément de T (stabilité par union dénombrable). La famille T choisie ainsi s’appelle tribu d’événements. Dans ce cours, pour un ensemble Ωdiscret, on prendra toujours T = P(Ω), ensemble de toutes les parties de Ω. Propriétés d’une probabilité Proposition 1.4.3 Soit uploads/Histoire/ chapitre-1-espaces-probabilises-n-e-fahssi.pdf