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1 Chapitre 1 Éléments du calcul des probabilités Notions de base, probabilité,

1 Chapitre 1 Éléments du calcul des probabilités Notions de base, probabilité, probabilité conditionnelle I) Notions de base 1) Expérience aléatoire et espace fondamental Une expérience aléatoire est une opération dont les résultats possibles ne sont pas prévisibles avec certitude (le résultat de l'expérience n'est pas connu à l'avance). L'ensemble de tout les résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé univers ou ensemble fondamental noté (oméga). Exemple : Expérience aléatoire Phénomène aléatoire observé Univers ou ensemble fondamental  Jet d'une pièce de monnaie une fois Coté obtenu   F , P   avec P : pile et F: face Jet de deux pièces de monnaie une fois Cotés obtenus   ) F , F ( ), P , P ( ), P , F ( ), F , P (   Fonctionnement d'une machine sur une période T Nombre d'arrêts techniques      ,..., 2 , 1 , 0 , on peut avoir 0, ou, 1 ou 2..., arrêts techniques sur la période T. Attente d'un métro Écart entre heure d'arrivée et heure prévue   3 , 3    est un intervalle réel exprimé en unités du temps Remarque: Dans ce chapitre nous étudions uniquement le cas d'expériences aléatoires à ensemble fondamental fini. 2) Événement On appelle événement possible noté E ( A, B C......) d'une expérience aléatoire un sous ensemble de l'univers  associé à cette expérience. On définie les événements suivants:  Événement élémentaire (ou singulier) : il est composé d'un seul élément de.  Événement composé : il est composé d'au moins deux éléments de   Événement certain: il est composé de tous les éléments de   Événement impossible (ou non réalisable): si aucun de ses éléments n'appartient à  (il s'agit de l'ensemble vide) 2 Exemples Exemple1 Prenons l'exemple du jet d'un dé à 6 faces (dé parfait) L'espace fondamental associé à cette expérience aléatoire est : Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}  A : « le numéro obtenu est pair », est un événement composée A= {2 ;4 ;6}  B : « le numéro obtenu est 2 », est un événement élémentaire B={2 }  C : « le numéro obtenu est 8 », est un événement impossible C={ } Exemple2: Soit l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux pièces de monnaie L'espace fondamental associé à cette expérience aléatoire est :   ) F , F ( ), P , P ( ), P , F ( ), F , P (   On considère les événements suivants  E1: « avoir face sur les deux pièces», est un événement élémentaire équivalent à   ) F , F (  E2: «les deux pièces amènent deux cotés différents», est un événement composé équivalent à   ) P , F ( ), F , P ( 3) Relations entre les événements Exemple: Prenons l'exemple du lancer d'un dé à 6 faces : Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} et soient les événements suivants: E5 E2 E3 E4 E6  lot des articles E1 3 2 4 1 A 5 6 A : défectueux ) E ( P ) E A ( P ) E / A ( P )....... E ( P ) E / A ( P ) E ( P ) E / A ( P ) E A ( P ) A ( P i i i i        2 2 1 1 E1: " avoir un numéro impair différent de 1" E2: " avoir un numéro pair "2 4 6 E3: " avoir un numéro pair différent de 2" 4 6 3 E4: " avoir le numéro 1" a) Réunion d'événements La réunion de k événements E1, E2,...,Ek, est un événement j k j k E E ... E E A 1 2 1        qui consiste en la réalisation de l'un au moins de ces k événements (la réunion se traduit par "ou"). Par exemple :   5 3 1 4 1 , , E E   b) Intersection d'événements L'intersection de k événements E1, E2,...,Ek, est un événement j k j k E E ... E E B 1 2 1        qui consiste en la réalisation simultanée de ces k événements (la réunion se traduit par "et"). Par exemple  2 1 E E     6 4 3 2 , E E   c) Événement contraire ou complémentaire Soit A un événement quelconque de , on note A l'événement contraire ou complémentaire de A. c'est à dire l'événement composé de tous les événements élémentaires de ne figurant pas dans A. Exemple Prenons l'exemple du lancer d'un dé à 6 faces : Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} Posons A : « le numéro obtenu est pair ». On a A={2 ;4 ;6} Alors A est l'événement « Le numéro obtenu est impair ». A ={1;3;5} 4 d) Événements incompatibles Deux événements A et B sont dits incompatibles (disjoints ou distincts) s'ils ne se réalisent pas ensembles. C'est à dire  B A . Exemple e) Système complet d'événements Supposons que l'espace fondamentale associé à une expérience aléatoire est composé de k événements E1, E2,..., Ek, tel que :   j i E E   i,j=1,..., k pour j i  (incompatibilité des événements deux à deux)      j k j k E E ... E E 1 2 1     alors, on dit que E1, E2,...,Ek forment un système complet de  Exemple: Prenons l'exemple du lancer d'un dé à 6 faces : Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Posons A : « le numéro obtenu est pair ». On a A= {2 ; 4 ; 6} et B : « le numéro obtenu est impair ». On a B= {1 ; 3 ; 5} A et B forment un système complet de car:   B A  2 1 3 4 5 6 A B A B  B A B A B A _____      B A 5 II) Espace probabilisable et probabilité 1) Espace probabilisable Soit  l'espace fondamental associé à une expérience aléatoire et soit ) ( P  l'ensemble des événements qu'on peut former à partir de . Le couple ( , ) ( P ) est appelé espace probabilisable. Reprenons l'exemple du jet d'un dé à 6 faces : Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} Les événements qu'on peut former sont: A1={1}, A2={2}... A6={6} A7={2 ;4 ;6} A8={1 ;3 ;5} A9={2 ;4 } A10={4 ;6} A11={1 ;3 } A12={3 ;5}.................................. 2) Probabilité Soit (, ) ( P ) un espace probabilisable et soit E un événement quelconque de  . On appelle probabilité sur ( , ) ( P ) l'application :   ) E ( p E , ) ( P : p    1 0 p vérifie les propriétés suivantes:  1  ) ( p  1 0   ) E ( p ) ( Card ) A ( Card ) A ( p   Cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments qui le composent 6 3) Équiprobabilité Soient A et B deux événements de l'ensemble fondamental. - On dit que A et B sont équiprobables si P(A)=P(B) - A et B sont équivalents P(A)= P(B) Exemple : considérons l'expérience aléatoire qui consiste à lancer une pièce de monnaie L'esp ace fondamental lié à cette expérience   F , P   On a: 2 1   ) B ( P ) A ( P on dit que A et B sont équiprobables 4) Propriétés générales de la probabilité Propriété 1: si A l'événement complémentaire (contraire) de A dans , alors on a : ) A ( P 1 ) A ( P   On a   A A                1 A P A P P ¨ A A P   ) A ( P 1 ) A ( P   Propriété 2: Soient A et B deux événements de l'ensemble fondamental, on a : ) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P      Si A et B son incompatibles càd  B A  , alors 0 ) B A ( P   donc on a : ) B ( P ) A ( P ) B A ( P    Propriété 3: Soient A et B deux événements de l'ensemble fondamental, on a : ) B A ( P ) A ( P ) A B ( P     7 ) B A ( P ) B ( P ) B A ( P  uploads/Histoire/ chapitre-1-elements-du-calcul-des-probabilites.pdf