Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

CHAPITRE II : CALCUL DE PROBABILITES I. INTRODUCTION Au cours de ce chapitre no

CHAPITRE II : CALCUL DE PROBABILITES I. INTRODUCTION Au cours de ce chapitre nous définirons pour commencer la notion d'expérience aléatoire et d'événement aléatoire. Ensuite nous étudierons la notion de probabilité : définition et propriétés. Nous présenterons aussi la notion d'exclusivité, la probabilité conditionnelle et la notion d'indépendance. Enfin, nous terminerons le chapitre par le théorème de bayes. II. DEFINITIONS 2.1. Notion d’aléatoire La définition de la probabilité est liée aux notions d’expérience aléatoire et d’événement aléatoire. Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut en prévoir exactement le résultat, du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés. Un événement aléatoire est un événement qui peut se réaliser ou ne pas se réaliser au cours d’une expérience aléatoire. Exemple : Le jet d’un dé numéroté de 1 à 6 est une expérience aléatoire car le résultat du jet est imprévisible. L’événement avoir une face paire du dé est un événement aléatoire car le résultat du jet peut être impair comme il peut être pair. Le choix d’une personne dans un groupe d’individus contenant des hommes et des femmes est une expérience aléatoire car le résultat du choix est imprévisible. L’événement choisir une femme est un événement aléatoire car la personne choisie peut être une femme comme elle peut être un homme. 2.2. Définition classique de la probabilité Si au cours d’une expérience aléatoire on peut dénombrer tous les résultats possibles, et si parmi ces résultats on peut dénombrer tous les résultats favorables à la réalisation d’un événement aléatoire quelconque A, on définit classiquement la probabilité de l’événement A comme étant le rapport du nombre de résultats favorables au nombre de résultats possibles. P (A )= Nombrederésultats favorables Nombrederésultats possibles Il faut noter que tous les résultats possibles doivent avoir la même chance de réalisation. Cette définition montre que la probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. 0 ≤ p ≤ 1 La probabilité de tout événement qui doit nécessairement se réaliser au cours d’une expérience aléatoire est égale à 1, il s’agit d’un événement certain. P(événement certain) = 1 La probabilité de tout événement qui ne peut pas se réaliser au cours d’une expérience aléatoire est nulle, il s’agit d’un événement impossible. P(événement impossible) = 0 Exemple : Dans une urne contenant 20 boules blanches, 15 boules noires, 15 boules rouges et 10 boules vertes on choisit de façon aléatoire une boule. Le tirage de la boule est une expérience aléatoire car le résultat du tirage est imprévisible. L’événement choisir une boule blanche est un événement aléatoire car la boule tirée peut être blanche comme elle peut être d’une autre couleur. Le nombre de boules pouvant être choisies est 60 car l’urne contient au total 60 boules. Le nombre de boules favorables à l’événement « boule blanche » est 20 car l’urne contient 20 boules blanches. La probabilité de tirer une boule blanche est donc : P=20 60=0.33 III. NOTION D’EXCLUSIVITE 3.1. Événements exclusifs Deux événements aléatoires associés à une même expérience aléatoire sont dits exclusifs ou incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément. Si deux événements aléatoires A et B sont exclusifs alors : p(A ou B) = p(A) + p(B) et p(A et B) = 0 Si deux événements aléatoires A et B ne sont pas exclusifs alors : p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A et B) 3.2. Événements mutuellement exclusifs Plusieurs événements aléatoires associés à une même expérience aléatoire sont dits mutuellement exclusifs ou mutuellement incompatibles s’ils sont exclusifs deux à deux. Si k événements A1, A2, …, Ak sont mutuellement exclusifs alors : p(A1 ou A2 ou … ou Ak) = p(A1) + p(A2) + … + p(Ak) Si trois événements aléatoires A, B, et C ne sont pas mutuellement exclusifs alors : p(A ou B ou C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A et B) – p(A et C) – p(B et C) + p(A et B et C) Cette formule peut être généralisée à plusieurs événements non exclusifs, on l'appelle égalité de Poincaré : P (A1ou A2ou…… An)=∑ i=1 n P(A¿¿i)−¿ ∑ i, j=1 n P( A¿¿i et A j)+ ∑ i, j, k=1 n P(A¿¿i et A jet Ak)¿¿¿¿ Dans cette égalité les différents S qui figurent portent sur toutes les combinaisons possibles des indices différant les uns des autres. 3.3. Evénements complémentaires Plusieurs événements aléatoires associés à une même expérience aléatoire sont dits totalement exclusifs ou complémentaires s’ils sont exclusifs deux à deux et si l’un d’eux doit nécessairement se réaliser. Si k événements A1, A2, …, Ak sont complémentaires alors : p(A1 ou A2 ou … ou Ak) = p(A1) + p(A2) + … + p(Ak) = 1 Exemple : Dans un jeu de cartes contenant 13 cartes de cœur, 13 cartes carreau, 13 cartes pique et 13 cartes trèfles on choisie de façon aléatoire une carte. Les 13 cartes de chaque couleur sont les cartes As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi. Soient les événements : * Probabilité de tirer une carte cœur ou carreau Les événements A et B sont exclusifs P (A ouB )=P (A )+ P(B)= 1 4 + 1 4=1 2 * Probabilité de tirer une carte cœur ou As : Les événements A et E ne sont pas exclusifs car on peut avoir A et E simultanément c’est le cas où on tire une carte As de cœur. P (Asde coeur )=P ( Aet E )= 1 52 P (A ou E)=P ( A)+P (E)−P ( Aet E )=1 4 + 1 13−1 52= 4 13 * Probabilité de tirer une carte cœur ou carreau ou pique : Les événements A, B, et C sont mutuellement exclusifs : p ( A ouBouC )=p (A )+ p (B )+ p (C )=1 4 + 1 4 + 1 4 =3 4 * Probabilité de tirer une carte cœur ou carreau ou dame : Les événements A, B, et F ne sont pas mutuellement exclusifs : p (A ouBou F )=p (A )+ p (B )+ p (F )– p ( Aet B )– p ( Aet F )– p (Bet F )+ p (A et Bet F ) p (A ouBou F )=1 4 + 1 4 + 1 13−0−1 52−1 52+0= 7 13 IV. NOTION D’INDEPENDANCE 4.1. Probabilité conditionnelle Considérons le cas de plusieurs expériences aléatoires simultanées ou successives. Soient deux événements aléatoires A et B non nécessairement exclusifs. La probabilité conditionnelle de l’événement A sous la condition B, est la probabilité de réalisation de l’événement A sachant que l’événement B est déjà réalisé. Elle est désignée par : PB ( A)=P( A et B) P(B) Soient deux événements aléatoires A et B non nécessairement exclusifs. La probabilité conditionnelle de l’événement B sous la condition A, est la probabilité de réalisation de l’événement B sachant que l’événement A est déjà réalisé. Elle est désignée par : PA (B)= P( Aet B) P( A) Cette définition conduit à la formule de probabilité composée : P (A et B) = p(A).p(B/A) = p(B).p(A/B) On peut généraliser cette formule à plusieurs événements. Ainsi pour trois événements A, B, et C : P(A et B et C) = p(A).p(B/A).p(C/A et B) Exemple : Dans une urne contenant 20 boules blanches, 15 boules noires, 15 boules rouges et 10 boules vertes on choisit de façon aléatoire deux boules successives. Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient blanches ? Soient A l’événement « première boule tirée est blanche » et B l’événement « deuxième boule tirée est blanche ». p(A) est la probabilité de tirer au premier tirage une boule blanche :P (A )=20 60=0.33 p(B/A) est la probabilité de tirer au deuxième tirage une boule blanche sachant que la première boule tirée est blanche. Au deuxième tirage l’urne contient donc 59 boules dont 19 sont blanches car on a déjà tiré une boule blanche. On a donc : P (B/ A )=19 59=0.32 P(A et B) = p(A).p(B/A) = 0,33x0,32 = 0,1056 Si on tire successivement trois boules, la probabilité que les trois boules soient vertes est : P= 10 60∗9 59 ∗8 58 =0.0035 4.2. Evénements indépendants Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité de voir se réaliser l’événement A ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de l’événement B. La probabilité de voir se réaliser l’événement B ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de l’événement A. p(A) = p(A/B) = p(A/non B) p(B) = p(B/A) = p(B/non A) Deux événements A et B sont donc indépendants si : p(A et B) = p(A).p(B) Plusieurs événements A1, A2, …, Ak sont indépendants si : p(A1 et A2 et … et Ak) = p(A1).p(A2)…p(Ak) L'indépendance de plusieurs événements deux à deux n'entraîne pas nécessairement l'indépendance de l'ensemble des événements. Exemple : On lance deux dés parfaitement homogènes numérotés de 1 à 6. Soient : L’événement A : résultat du premier dé est impair ; L’événement B uploads/Histoire/ chapitre-ii 1 .pdf