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UNIVERSITÉ PARIS DESCARTES Licence Informatique 2e année Notes du cours Probabl

UNIVERSITÉ PARIS DESCARTES Licence Informatique 2e année Notes du cours Probablilités et Statistiques pour l’Informatique. Table des matières 1 Probabilités, événements 1 1.1 Statistiques et informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Rappels sur les notations mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.2 Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Couples, triplets, n-uplets et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Événements et probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Univers, évènements, et réalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 Intersections d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.4 Unions d’événements et probabilité d’une union . . . . . . . . . . . 8 1.3.5 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.6 Événement complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.7 Exclusion d’évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Probabilités conditionnelles et indépendance d’évènements 15 2.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.2 Indépendance et événements complémentaires . . . . . . . . . . . . 25 2.4.3 Indépendance de 3 événements ou plus . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Indépendance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Variables aléatoires et lois 27 3.1 Déﬁnitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.2 Support d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.3 Fonction de répartition d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . 29 3.1.4 Variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.5 Les événements élémentaires [X = x] . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Variables aléatoires continues, ou à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 3.2.1 variable uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.3 Variable gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.5 Fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité . . . . . . 42 3.2.6 Autre approche de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Espérance et variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.3 Exemples de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 Vecteurs aléatoires 53 4.1 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.1 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Exemples de calculs de lois utilisant l’indépendance . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.1 Maximum ou minimum de variables indépendantes . . . . . . . . . 57 4.3 Covariance et corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 Conditionnement par rapport à un événement . . . . . . . . . . . . 64 5 Théorèmes limites et estimation 67 5.1 Jeu de données et échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.2.1 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3 Estimation ponctuelle de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4 Intervalles de conﬁance et Théorème Central Limite . . . . . . . . . . . . . 72 5.4.1 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Histoire/ cours-2018-pdf.pdf