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1 Module d’Electricité 1ère partie : Electrocinétique Fabrice Sincère (version

1 Module d’Electricité 1ère partie : Electrocinétique Fabrice Sincère (version 4.0.3) http://perso.orange.fr/fabrice.sincere 2 Sommaire 1- Introduction : les grandeurs périodiques 2- Représentation des grandeurs sinusoïdales 2-1- Fonction mathématique 2-2- Représentation de Fresnel 2-3- Nombre complexe associé 3-Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales 4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal 5- Etude des circuits linéaires en régime sinusoïdal 5-1- Lois de Kirchhoff 5-2- Association de dipôles passifs linéaires 5-3- Théorèmes généraux 6- Puissance en régime sinusoïdal 3 Chapitre 3 Régime sinusoïdal 1- Introduction : les grandeurs périodiques • Période Un signal périodique est caractérisé par sa période : T = 2 ms. 4 • Fréquence La fréquence f (en hertz) correspond au nombre de périodes par unité de temps : A.N. T = 2 ms ⇔ f = 500 Hz (500 périodes par seconde) • Pulsation La pulsation est définie par : ω ω ω ω = 2π π π πf = 2π π π π/T (en radians par seconde) T 1 f = 5 • Valeur moyenne On note la valeur moyenne dans le temps de la tension u(t) : ∫ = > < T 0 dt ) t ( u T 1 u V 5 , 2 10 4 1 u . N . A = × = > < 6 • Composante continue (DC =) et composante alternative (AC ~) Une grandeur périodique a deux composantes : - la composante continue (c’est la valeur moyenne ou « offset ») - et la composante alternative u(t) = + uAC(t) : 7 Remarques : - la composante alternative a une valeur moyenne nulle : <uAC> = 0 - une grandeur périodique alternative n’a pas de composante continue : = 0 8 • Puissance électrique p(t) = u(t)⋅i(t) est la puissance électrique consommée à l’instant t (ou puissance instantanée). En régime périodique, ce n’est pas p(t) qu’il est intéressant de connaître mais la puissance moyenne dans le temps : ∫ >= >=< =< T 0 dt ) t ( i ) t ( u T 1 ui p P Attention : en général, <ui> ≠ 9 • Valeur efficace (RMS) Par définition, la valeur efficace Ueff de la tension u(t) est : A.N. ∫ = > < = T 0 eff dt ) t ²( u T 1 ² u U V 5 4 1 100 Ueff = × = 10 Remarques : La valeur efficace est une grandeur positive. Ueff² = ² + UAC eff ² Valeur efficace d’un courant électrique : > < = ² i Ieff 11 • Signification physique de la valeur efficace Soit une résistance parcourue par un courant continu : R U I La résistance consomme une puissance électrique : P = RI² = U²/R (loi de Joule) 12 Soit la même résistance parcourue par un courant périodique i(t) de valeur efficace Ieff : R u(t) i(t) La puissance moyenne consommée est : P = <Ri²> = R<i²> = RIeff² = Ueff²/R Pour avoir les mêmes effets thermiques, il faut que Ieff soit égal à la valeur du courant en régime continu I (idem pour les tensions) : La notion de valeur efficace est liée à l’énergie. 13 • Cas particulier des grandeurs sinusoïdales alternatives Û désigne la tension maximale (ou tension crête) On montre que : 2 Û Ueff = Exemple : EDF fournit une tension sinusoïdale alternative de valeur efficace 230 V et de fréquence 50 Hz. Pour un courant sinusoïdal alternatif : 2 Î Ieff = 14 A.N. Calculer la valeur efficace de la tension suivante : V 58 , 16 ² 07 , 7 ² 15 U V 15 u V 07 , 7 2 10 U eff ACeff = + = + >= < = = 15 2- Représentation des grandeurs sinusoïdales 2-1- Fonction mathématique avec : • Ieff : valeur efficace (A) • ω : pulsation (rad/s) • t : temps (s) • (ωt + ϕ i) : phase (rad) • ϕ i : phase à l’origine (rad) ) t sin( 2 I ) t sin( I ˆ ) t ( i i eff i ϕ + ω = ϕ + ω = 16 2-2- Représentation de Fresnel C’est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales. Le vecteur de Fresnel associé au courant i(t) est défini de la façon suivante :      ϕ = = i eff ) I , Ox ( I I I U 12 π i − = ϕ 4 π u + = ϕ Exemple : ) t sin( 2 5 ) t ( u ) t sin( 2 3 ) t ( i 4 12 π π + ω = − ω = 17 2-3- Nombre complexe associé Le nombre complexe I associé au courant i(t) est défini de la façon suivante : I = (Ieff , ϕ ϕ ϕ ϕ i) Le module correspond à la valeur efficace et l’argument à la phase à l’origine. 18 A.N. Déterminer le nombre complexe associé à la tension : ( ) ( ) ) 1 ² j ( j 2 2 5 2 2 5 j sin 5 cos 5 ) (5, U 4 4 4 − = + = + + + = + = π π π ) t sin( 2 5 ) t ( u 4 π + ω = 19 3-Déphasage (ou différence de phase) entre deux grandeurs sinusoïdales Soit deux grandeurs sinusoïdales (de même fréquence) : ) t sin( U ˆ ) t ( u ) t sin( I ˆ ) t ( i u i ϕ + ω = ϕ + ω = Le déphasage de u par rapport à i est par convention : ϕ ϕ ϕ ϕu/i = ϕ ϕ ϕ ϕ u - ϕ ϕ ϕ ϕ i τ : décalage (en s) entre les deux signaux. 360 ) ( 2 ) rad ( T ° ϕ = π ϕ = τ 20 - déphasage nul (τ = 0) : les grandeurs sont en phase • Déphasages particuliers - déphasage de 180° (τ = T/2) : grandeurs en opposition de phase - déphasage de 90° (τ = T/4) : grandeurs en quadrature de phase N.B. Le déphasage est une grandeur algébrique : ϕ ϕ ϕ ϕ i/u = - ϕ ϕ ϕ ϕ u/i Fig. 3d : ϕ u/i = +90° : u est en quadrature avance sur i. 21 A.N. Calculer le déphasage ϕ u1/u2 : ° + = = τ = ϕ 36 ms 1 µs 100 360 T 360 2 u / 1 u 22 • Déphasage et vecteurs de Fresnel ) , ( / U I i u = ϕ I U u ϕ i ϕ u/i ϕ • Déphasage et nombres complexes ϕ u/i = ϕ u - ϕ i = arg (U) – arg (I)         = ϕ I U arg i / u 23 A.N. Calculer le déphasage ϕ u / i ϕ ϕ ϕ ϕu / i = +60 ° I U 12 π i − = ϕ 4 π u + = ϕ 24 4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal 25 • Impédance complexe En régime continu, un dipôle passif linéaire est caractérisé par sa résistance : R = U/I (loi d’Ohm) En régime sinusoïdal, un dipôle passif linéaire est caractérisé par son impédance complexe Z : I U Z = Z U I - L’impédance Z (en Ω) est le module de Z : ) A ( I ) V ( U ) ( Z eff eff = Ω 4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal 26 - Le déphasage de u par rapport à i correspond à l’argument de Z : arg(Z) = ϕ ϕ ϕ ϕu/i - En définitive : Z = (Z, ϕ ϕ ϕ ϕu/i) = (Ueff/Ieff , ϕ ϕ ϕ ϕu/i) • Admittance complexe L’admittance complexe est l’inverse de l’impédance complexe : Z 1 Y = Y est l’admittance (en siemens S) : eff eff U I Z 1 Y = = arg(Y) = - arg(Z) = ϕi/u 27 • Dipôles passifs élémentaires en régime sinusoïdal - résistance parfaite I U R 1 G Y Ohm) d' (loi RI U 0 R Z R Z R eff eff i / u R R = = =    ° = ϕ = = 28 L : inductance d’une bobine (en henry H) L’impédance d’une bobine augmente avec la fréquence. - bobine parfaite 2 π + I U O ω − = ω =    ° + = ϕ ω = ω = L j Y I L U 90 L Z jL Z L eff eff i / u L L 29 C : capacité en farad F (corps humain ≈200 pF) L’impédance d’un condensateur diminue avec la fréquence. - condensateur parfait 2 π − I U ω = ω =      ° − = ϕ ω = ω − = jC Y C I U 90 C uploads/Histoire/ cours-electricite-regime-sinusoidal.pdf