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Introduction :Historique Notion de fonction Limites des fonctions Continuité de

Introduction :Historique Notion de fonction Limites des fonctions Continuité des fonctions Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue Fonctions circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques Fonctions uniformément continues Ch.3 : Fonctions numériques d'une variable réelle Abdelkhalek El amrani et Amina Benbachir Hassani Department de mathématiques Faculté des Sciences Dhar El Mahraz Atlas Fès, Maroc. abdelkhalek.elamrani@usmba.ac.ma amina.benbachirhassani@usmba.ac.ma 24 janvier 2021 1/76 Introduction :Historique Notion de fonction Limites des fonctions Continuité des fonctions Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue Fonctions circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques Fonctions uniformément continues 1. Introduction :Historique 1.1 Votre histoire 1.2 Histoire du concept 2. Notion de fonction 3. Limites des fonctions 3.1 Limites usuelles 4. Continuité des fonctions 4.1 Continuité en un point 4.2 Continuité sur un ensemble 4.3 Théorème de Weierstrass 5. Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue 5.1 Théorème des valeurs intermédiaires 5.2 Applications :Image d'un intervalle par une fonction continue et résolution des équations 5.3 Forme de l'image d'un intervalle par une fonction continue 5.4 Théorème de la bijection monotone 6. Fonctions circulaires réciproques 6.1 Théorèmes et dé nitions 6.2 Tableaux des variations et courbes des fonctions Arcsin, Arcos et Arctan 7. Fonctions hyperboliques 7.1 Dé nitions et propriétés 7.2 Tableaux des variations et courbes des fonctions hyperboliques 8. Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques 8.1 Théorèmes et dé nitions 8.2 Courbes des fonctions Args 9. Fonctions uniformément continues 9.1 Dé nition et propriété 9.2 Théorème de Heine 9.3 Fonctions Lipschitziennes 2/76 Introduction :Historique Notion de fonction Limites des fonctions Continuité des fonctions Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue Fonctions circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques Fonctions uniformément continues Votre histoire A l'encontre des deux concepts : nombres réels et suites numérique, le concept de fonctions numérique est introduit un peu tard aux programmes de l'école Marocaine ; ainsi : Collège :3eme année : Introduction des deux classes de fonctions linéaires x 7− →ax et a nes x 7− →ax + b où a et b sont deux nombres réels non nuls. Le tracé de leurs courbes fait appel aux droites dé nies par leurs équations cartésiennes dans un plan rapporté à un repère orthonormé. Lycée : Tronc commun : On introduit le concept de fonction numérique d'une variable réelle . Le domaine de dé nition, la bornitude, la monotonie, la parité et la courbe représentative d'une fonction numérique sont introduits et illustrés par les exemples f : x 7− →ax2 + bx + c, g : x 7− →ax+b cx+d et les deux fonctions cos et sin. Une étude complète de ces quatre fonctions est faite et leurs courbes sont tracées, en utilisant des techniques géométriques à savoir la symétrie centrale, axiale et le concept de translation, sans les notions de limite, continuité et dérivabilité ; ainsi la notion de parabole et hyperbole sont introduites pour désigner la courbe de f et g. 3/76 Introduction :Historique Notion de fonction Limites des fonctions Continuité des fonctions Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue Fonctions circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques Fonctions uniformément continues Votre histoire Lycée : Première année du baccalauréat scienti que : Une étude analytique , très poussée, des fonctions numérique est introduite. Le programme de mathématique de cette année comporte les quatre chapitres réservées aux fonctions numériques d'une variable réelle : 1. Généralités sur les fonctions numériques(semestre 1) : On présente, d'une façon mathématique, les notions fondamentales telles que : le domaine de dé nition, bornitude, extrémums absolus et relatifs, périodicité, monotonie et taux des variations, le tracé des courbes des fonctions : f : x 7− →ax3, g : x 7− →√x + a et x 7− →E (x) se fait sans les notions de limite, continuité et dérivabilité. 2. Limite des fonctions numériques(semestre 1 et 2) : On présente, d'une façon mathématique, dans la lière Science mathématique, cette notion ; ainsi la fameuse dé nition de limite nie d'une fonction en un nombre réel, est introduite et illustrée par des exemples : lim x→x0 f (x) = l ⇔(∀ε > 0) (∃α > 0) : (∀x ∈Df) | x−x0 |< α ⇒| f (x)−l |< ε. 4/76 Introduction :Historique Notion de fonction Limites des fonctions Continuité des fonctions Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue Fonctions circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques Fonctions uniformément continues Votre histoire Les quinze dé nitions mathématiques des limites sont introduites et illustrées par des exemples. Les opérations sur les limites, limites et ordre, limites des fonctions de références : Les fonctions polynomiales, fractions rationnelles, cos, sin et tan sont aussi introduites, en particulier le théorème de calcul des limites en l'in ni d'une fonction polynomiale ou fraction rationnelle est donné sous cette forme : Si P et Q sont deux fonctions polynomiales non nulles et n = d◦P et m = d◦Q, alors    lim ±∞P (x) = lim ±∞anxn lim ±∞ P (x) Q (x) = lim ±∞ anxn bmxm 3. Dérivabilité des fonctions numériques(semestre 2) : On présente, d'une façon mathématique, dans la lière Science mathématique, cette notion ; en recommandant dans les instructions o cielles, au professeurs, de l'utilisation de l'approximation des fonctions dérivables en un point par des fonctions a nes, pour introduire ce concept. Les opérations sur la dérivabilité, dérivabilité des fonctions de références : Les fonctions polynomiales, fractions rationnelles, cos, sin et tansont aussi introduites 5/76 Introduction :Historique Notion de fonction Limites des fonctions Continuité des fonctions Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue Fonctions circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques Fonctions uniformément continues Votre histoire Les trois applications de la notion de dérivée sont utilisées : Variation d'une fonction sur un intervalle, Extrémum d'une fonction et l'équation diérentielle y ′′ + ω2y = 0, où ω ∈R. 4. Étude des fonctions numériques(semestre 2) : L'accent est mis, dans ce chapitre, sur la représentation graphique de la courbe représentative d'une fonction numérique. Ainsi on introduit la notion de convexité et concavité et les points d'in exions d'une telle courbe, le centre de symétrie et l'axe de symétrie, et les branches in nies sont introduite sous forme d'un savoir scienti que et ceci dans toutes les lières scienti ques. Lycée : Deuxième année du baccalauréat scienti que : Dans le programme de toutes les lières scienti que, une grande importance est donnée aux fonctions numériques d'une variable réelle. Ainsi dans le premier chapitre on introduit les quatre types de la notion de continuité (en un point, à gauche en un point, à droite en un point et sur un intervalle), la dé nition mathématique de ces types de continuité est introduite, uniquement, à la lière sciences mathématique. 6/76 Introduction :Historique Notion de fonction Limites des fonctions Continuité des fonctions Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue Fonctions circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques Fonctions uniformément continues Votre histoire Les opérations sur la continuité, notamment la continuité de la composée de deux fonctions, continuité des fonctions de références : Les fonctions polynômiales, fractions rationnelles, cos, sin et tan sont aussi introduites (sans preuve) : le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I), l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle, en particulier, l'image d'un segment par une fonction continue est un segment, les images des diérents types d'intervalles de R par une fonction continue sont calculées à l'aide de la monotonie de cette fonction sur cet intervalle. On introduit aussi le fameux théorème de la bijection monotone à savoir : Toute application f continue est strictement monotone sur un intervalle I est bijective de cette intervalle vers l'intervalle f (I). Ce théorème sert à introduire les fonctions racines nièmes et les fonctions exponentielles comme bijections réciproques respectives des fonctions x 7− →xn sur [0, +∞[ et des fonctions logarithmes sur R. Quant à la fonction arc-tangente qui ne gure que dans le programme de sciences mathématique, elle est présentée comme bijection réciproque de la fonction tangente sur R. Sont aussi données les propriétés l éb i l i d i f i 7/76 Introduction :Historique Notion de fonction Limites des fonctions Continuité des fonctions Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue Fonctions circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques Fonctions uniformément continues Votre histoire Dans les deux chapitres : Dérivabilité et Étude des fonctions numériques , on rappelle les principaux résultats et concepts déjà étudiés au première année, puis on introduit le fameux théorème de la dérivée de la composée :Si f et g sont deux fonctions numériques de la variable réelle dérivable en x0 et f (x0) respectivement, alors la composée g ◦f est dérivable en x0 et (g ◦f) ′ (x0) = g ′ (f (x0)) .f ′ (x0), une démonstration rigoureuse est aussi uploads/Histoire/ fonctions-numeriques.pdf