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Composition 1ère période 2004- 2005 Mathématiques Séries : SET-MTI–MTGC Académi

Composition 1ère période 2004- 2005 Mathématiques Séries : SET-MTI–MTGC Académie R.G Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique de Bamako EXERCICE 1 : (5 points) 1. Soit P le polynôme de la variable complexe z défini par : 9 ) 4 1 ( 3 ) 4 3 ( ) ( 2 3 + − − + − = z i z i z z P . a) Calculer P (3) ; b) Montrer que pour tout z dans ℂ ) 3 4 ( ) 3 ( ) ( 2 − − − = iz z z z P ; c) On pose z = u + 2i. Ecrire 3 4 2 − −iz z sous forme Q (u)= 0, avec Q un polynôme de degré 2. d) Résoudre dans ℂ, l’équation Q (u) = 0. e) Déduire des questions précédentes les solutions dans ℂ de l’équation P (2) = 0. 2. On pose : α tan 1 1 i Z + = . Calculer le module et un argument de Z. (On discutera suivant les valeurs du réel α). 3. En utilisant les racines cubiques de l’unité résoudre l’équation d’inconnue Z : 3 3 ) 12 1 ( i Z + = EXERCICE 2 : (5 points) 1. a) Etudier suivant les valeurs de n, le reste de division par 7 du nombre 1 2 + − = n n A . b) En déduire les entiers n tels que le nombre A soit divisible par 7. c) Déterminer le reste de la division par 7 du nombre 1 2753 27532 + − = B . 2. Déterminer les triangles OAB rectangles en O, dont les côtés sont mesurés par des nombres entiers, le côté OA ayant pour mesure 12. Calculer OB = n et AB = N. Parmi ces triangles, existe-il des triangles semblables ? Lesquels ? Compo 1ème période 2005 MTI – MTGC Page 01 Adama Traoré Professeur Lycée Technique PROBLEME : (10 points) Soit la fonction f définie sur ℝ- {-1 ; 1} par 1 2 ) ( 2 2 3 − + = x x x x f et ) (C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (Unité 2cm). Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur ℝ par : 4 3 ) ( 3 − − = x x x g . 1- Etudier la fonction g . 2-Montrer qu’il existe un réel unique α tel que : 0 ) ( = α g puis déterminer une valeur approchée à 10–2 près du réel α. 3- Etudier le signe de g sur ℝ. Partie B : Etude de la fonction f . 1- Déterminer les limites de la fonction aux bornes de chacun des intervalles de son ensemble de définition. 2- Montrer que, pour tout x de ℝ- {-1 ;1} on a 2 2 ) 1 ( ) ( ) ( ' − = x x g x x f En déduire le tableau des variations de f . 3- a) Montrer que, pour tout x de ℝ- {-1 ;1} on a : 1 2 2 ) ( 2 − + + + = x x x x f b) En déduire que la courbe ) (C admet une asymptote oblique D en + ∞ et – ∞. c) Etudier la position de ) (C par rapport à D. 4- Tracer la courbe ) (C et la droite D. Partie C : Nombre de solutions d’une équation 1- Déterminer l’abscisse des points de la courbe ) (C où la tangente est parallèle à la droite d’équation y = x + 2. 2- Déterminer une équation de chacune de ces tangentes et les représenter. 3- En déduire graphiquement suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l’équation : f(x) = x + m. Compo 1ème période 2005 MTI – MTGC Page 02 Adama Traoré Professeur Lycée Technique uploads/Histoire/ exercice-1-5-points-z-i-z-i-z-z-p.pdf