ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES CONTINUS DANS L’ESPACE D’ÉTAT Maitre de confér

ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES CONTINUS DANS L’ESPACE D’ÉTAT Maitre de conférences au Département d’Electrotechnique Université des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES DANS L’ESPACE D’ÉTAT Support de cours Représentation d’état Commande par retour Notes sur les observateurs d’état Dr KENDOUCI KHEDIDJA Maitre de conférences au Département d’Electrotechnique Université des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf -ORAN- USTO-MB- ANALYSE ET COMMANDE LINÉAIRES DANS L’ESPACE D’ÉTAT Support de cours Représentation d’état Commande par retour d’état Notes sur les observateurs d’état KENDOUCI KHEDIDJA Maitre de conférences au Département d’Electrotechnique Université des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf Ce document regroupe un ensemble de notes de cours sur la commande par représentation d’état. Il accompagne le cours d’automatique linéaire dispensé aux étudiants de Génie Electrique, du deuxième cycle. Le contenu de ce document n’est absolument pas exhaustif et doit être complété des notes personnelles prises lors des séances de cours, des travaux dirigés et des travaux pratiques. A DADI RACHIDA ! Toi ma chère sœur !!Toi qui sais apprécier les petites joies. Toi en qui j'ai confiance. Toi à qui j'ai fait des confidences. Toi qui partages mes rires. Toi à qui je peux tout dire. A l'infini je te remercie Dieu te guérisse ainsi tous les malades TABLES DES MATIERES CHAPITRE I REPRESENTATION D’ETAT DES SYSTEMES 2 I Introduction 2 II Représentation d’état III Espace d’état et fonction de transfert . 1-Passage de l’espace d’état vers la fonction de transfert 2- Passage de la fonction de transfert vers l’espace d’état 6 6 7 IV Différentes représentations d’état (modèles) 1- Forme canonique commandable 2- Forme canonique observable 3- Forme canonique diagonale (modale) 4- Forme canonique de Jordan 10 10 12 13 14 V Résolution des équations d’état 21 VI Transformation entre les modèles d’état 23 VII Diagonalisation des systèmes (découplage) 28 VIII Stabilité dans l’espace d’état 35 CHAPITRE II COMMANDE PAR RETOUR D’ETAT 37 I Introduction 37 II Définition de la commandabilite 37 III Conception du régulateur par retour d’état 40 IV La méthodologie de placement des pôles 42 V Conception du régulateur par retour d’état et intégrateur 48 CHAPITRE III NOTE SUR LES OBSERVATEURS D’ETAT 54 I Introduction 54 II Définition de l’observabilité 54 III Définition de l’observateur d’état 56 IV Synthèse d’observateur 1-Principe de fonctionnement de l'observateur 2- L’observateur de Luenberger linéaire 3- L’observateur de Luenberger étendu 57 57 59 60 RECUEIL DE TD 70 RAPPEL SUR LE CALCUL MATRICIEL 75 Ce n’est pas que je suis si intelligent, c’est que je reste plus longtemps avec les problèmes. Albert Einstein CHAPITRE I REPRÉSENTATION D’ÉTAT DES SYSTÈMES DYNAMIQUES  ل إء  ق  ل   إ وء ام Analyse et commande dans l’espace d’état - - Dr KENDOUCI Khedidja Représentation d’état des systèmes dynamiques CHAPITRE I -2- I. INTRODUCTION L’analyse et la synthèse des systèmes dynamiques linéaires invariants (SLI) nécessitent la connaissance d’un modèle mathématique traduisant les relations reliant les grandeurs d’entrée principales et secondaires aux grandeurs de sortie. En générale chaque SLI peut être représenté par une représentation suivante : • Représentation graphique qui peut être diagramme fonctionnel ou de fluence • Représentation reliant l’entrée à la sortie comme les fonctions de transfert qui demeurent des représentations externes ou par des modèles d’état dans ce cas on parle de représentations internes. La représentation externe reste valable et efficace quelque soient les systèmes jusqu’à ce que ces derniers atteignent une complexité telle l’unique relation entrée - sortie pour les commander correctement ne peut en satisfaire. Ces modèles deviennent difficiles à mettre en œuvre lorsqu’ils possèdent plusieurs entrées et plusieurs sorties. L’analyse par variables d’´etat est une approche moderne d’étude des systèmes née dans les années 60. Parmi les domaines d’application de cette théorie, l’automatique prend une place privilégiée : les représentations d’état sont à l’origine de méthodes puissantes d’analyse et de commande des systèmes, et qui possèdent en outre, l’avantage de conserver la représentation temporelle des phénomènes. II. REPRESENTATION D’ETAT L’idée de base des représentations d’état est que le futur d’un système dépend de son passé, de son présent et de ses entrées. Quelques définitions à cet effet : • L’état : est une structure mathématique constituée d’un ensemble de n variables x1(t), x2(t), x3(t)… xn(t) telles que les valeurs initiales xi(t0) de cet ensemble et les entrés ui(t) suffisent pour déduire d’une manière unique la réponse du système pour  ≥ Analyse et commande dans l’espace d’état Représentation d’état des systèmes dynamiques • Les variables d’état possibles du système • Le vecteur d’´etat : décrivant le système • Les équations d’état premier ordre. • L’espace d’état : représentation valide du système formée par l équations d’état et les Les fonctions f et g ne dépendent pas explicitement du temps. Cette formulation constitue invariante dans le temps système LTI (Linear Time fait l’objet de ce cours. Exemple1.1: Considérons le système Ce système est décrit   En choisissant (t) conditions initiales (à Analyse et commande dans l’espace d’état - - Dr KENDOUCI Khedidja Représentation d’état des systèmes dynamiques -3- Les variables d’état : un sous-ensemble de toutes les variables me x1(t), x2(t), x3(t)… xn(t) est l’ensemble minimal de variables          Les équations d’état : un groupe de n équations diffé      représentation valide du système formée par l tat et les équations de sortie. ne dépendent pas explicitement du temps. Cette formulation constitue une représentation d’é invariante dans le temps d’un système dont on parle système LTI (Linear Time-Invariant). Ce type de modèle fait l’objet de ce cours. onsidérons le système (RLC) de la figure-1 : Figure 1.1 : Circuit RLC par l’équation différentielle suivante           1   (t) et i(t) comme variable d’état avec les conditions initiales (à t=0),  (0)=0 et i(0) = 0, et comme entrée la Dr KENDOUCI Khedidja CHAPITRE I les variables ensemble minimal de variables d’état (1.1) érentielles de (1.2) représentation valide du système formée par les ne dépendent pas explicitement du temps. une représentation d’état linéaire dont on parle souvent de e type de modèle continu qui par l’équation différentielle suivante : comme variable d’état avec les comme entrée la Analyse et commande dans l’espace d’état Représentation d’état des systèmes dynamiques tension d’alimentation condensateur u(t). On pose           La représentation d’état correspondante à ce système est comme suit : !   "  D’une manière générale, à tout système linéaire, causal et continu peuvent être associées les équations matricielles suivantes : #  $ Et peut être représenté par la figure Figure 1.2 : S Analyse et commande dans l’espace d’état - - Dr KENDOUCI Khedidja Représentation d’état des systèmes dynamiques -4- d’alimentation e(t) et pour la sortie la tension aux borne On pose :   ,     ,    &    & 1    1    1   La représentation d’état correspondante à ce système est comme   " &   & 1  1 0  !   "  ( 1  0 )  *0 1 + !   " D’une manière générale, à tout système linéaire, causal et continu associées les équations matricielles suivantes : #  , -  .  Equation d’é  -  8  Equation de Et peut être représenté par la figure 1.2 : Schéma bloc de la représentation d’état Dr KENDOUCI Khedidja CHAPITRE I tension aux bornes du  La représentation d’état correspondante à ce système est comme  D’une manière générale, à tout système linéaire, causal et continu associées les équations matricielles suivantes : ’état de sortie (1.3) chéma bloc de la représentation d’état Analyse et commande dans l’espace d’état - - Dr KENDOUCI Khedidja Représentation d’état des systèmes dynamiques CHAPITRE I -5- Dans le cas général, le système peut avoir plusieurs entrées et plusieurs sorties. Soit n le nombre de variables d’état, m le nombre d’entrées et p le nombre de sorties. A : matrice d’état (ou dynamique) du système de dimension [n x n]. B : matrice de commande (d’entrée) de dimension [n x m]. C : matrice de mesure (de sortie) du système de dimension [p x n]. D : matrice de transmission directe de dimension [m x p]. X : vecteur d’état du système. u : vecteur d’entrée du système. y : vecteur de sortie du système. Notes : • Il est important de noter, que la représentation d’état d’un système n’est pas unique et dépend, notamment, du choix des variables d’état selon l’étude du concept. • Il est possible de passer d'une représentation d'état à une autre équivalente par une transformation linéaire. • Il est rare que la sortie du système soit directement reliée à son entrée. On a donc très souvent D = 0. III. ESPACE D’ETAT ET FONCTION DE TRANSFERT A. Passage de l’espace d’état uploads/Industriel/ annalyse-et-commande-des-systemes-lineai-pdf.pdf

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Industrield’état système commande représentation l’espace
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