c ⃝Christophe Bertault - MPSI Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonal

c ⃝Christophe Bertault - MPSI Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales Dans ce chapitre, on travaille seulement avec le corps de base R et E est un espace euclidien orienté. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls. 1 Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales en dimension quelconque 1.1 Automorphismes orthogonaux Définition (Automorphisme orthogonal/isométrie vectorielle) Soit f : E − →E une application. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) f préserve les produits scalaires : ∀x, y ∈E, f(x) f(y)  = (x|y). (ii) f est linéaire et préserve les normes : ∀x, y ∈E, f(x) = ∥x∥. De plus, si l’une de ces deux assertions est vraie, f est un automorphisme de E. On dit alors que f est un automorphisme orthogonal de E ou une isométrie (vectorielle) de E.    Explication • L’équivalence des assertions (i) et (ii) est conceptuellement puissante : le seul fait qu’une application (non nécessairement linéaire a priori) préserve les produits scalaires la rend automatiquement linéaire. • Une isométrie vectorielle, comme son nom l’indique, est une transformation géométrique qui préserve (« iso », même, identique) les normes (« métrie », mesure). Démonstration Nous noterons ci-dessous ⋆l’identité de polarisation : (x|y) = 1 2  ∥x + y∥2 −∥x∥2 −∥y∥2 . (i) = ⇒(ii) D’abord f préserve les normes, car pour tout x ∈E : f(x) = qf(x) f(x)  = p (x|x) = ∥x∥. Montrons que f est linéaire. Pour tous x, y ∈E et λ, µ ∈R : f(λx + µy) −λf(x) −µf(y) 2 = f(λx + µy) 2 + λ2 f(x) 2 + µ2 f(y) 2 −2λ f(λx + µy) f(x)  −2µ f(λx + µy) f(y)  + 2λµ f(x) f(y)  = ∥λx + µy∥2 + λ2∥x∥2 + µ2∥y∥2 −2λ(λx + µy|x) −2µ(λx + µy|y) + 2λµ(x|y) = (λx + µy) −λx −µy 2 = ∥0E∥2 = 0, donc f(λx + µy) = λf(x) + µf(y). (ii) = ⇒(i) Pour tous x, y ∈E : f(x) f(y)  ⋆ = 1 2 h f(x) + f(y) 2 − f(x) 2 − f(y) 2i linéarité = 1 2 h f(x + y) 2 − f(x) 2 − f(y) 2i (ii) = 1 2 h ∥x + y∥2 −∥x∥2 −∥y∥2i ⋆ = (x|y). Pour finir, montrons que sous réserve que l’une des assertions (i) ou (ii) est vraie, f est un automorphisme de E. Or f est injective car pour tout x ∈Ker f, ∥x∥= f(x) = ∥0E∥= 0, donc x = 0E. Comme f est par ailleurs un endomorphisme de E et comme E est de dimension finie, f est bien un automorphisme. ■ Exemple Toute symétrie orthogonale de E — en particulier tout réflexion de E — est un automorphisme orthogonal de E. En effet Soit s une symétrie orthogonale de E. Posons H = Ker (s −IdE). Alors s est la symétrie par rapport à H parallèlement à H⊥. Soient x1, x2 ∈E, décomposés sous la forme x1 = h1 + h′ 1 et x2 = h2 + h′ 2 où h1, h2 ∈H et h′ 1, h′ 2 ∈H⊥. Alors s(x1) = h1 −h′ 1 et s(x2) = h2 −h′ 2, donc : s(x1) s(x2)  = (h1 −h′ 1|h2 −h′ 2) = (h1|h2) − =0 z }| { (h1|h′ 2) − =0 z }| { (h′ 1|h2) +(h′ 1|h′ 2) = (h1|h2) + =0 z }| { (h1|h′ 2) + =0 z }| { (h′ 1|h2) +(h′ 1|h′ 2) = (h1 + h′ 1|h2 + h′ 2) = (x1|x2). 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Théorème (Caractérisation des automorphismes orthogonaux sur une base orthonormale) Soient f ∈L(E) et (ei)1⩽i⩽n une base orthonormale de E. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) f est un automorphisme orthogonal de E. (ii)  f(ei)  1⩽i⩽n est une base orthonormale de E.    Explication Bref, un automorphisme orthogonal transforme toute base orthonormale de E en une base orthonormale de E. Réciproquement, un endomorphisme de E qui tranforme une base orthonormale de E en une base orthonormale de E est un automorphisme orthogonal de E. Démonstration (i) = ⇒(ii) Si f est orthogonal, alors pour tous i, j ∈J1, nK : f(ei) f(ej)  = (ei|ej) = δij, donc  f(ei)  1⩽i⩽n, famille de n = dim E vecteurs, est une base orthonormale de E. (ii) = ⇒(i) Réciproquement, supposons  f(ei)  1⩽i⩽n orthonormale. Alors pour tous x, y ∈E de coordonnées respectives (xi)1⩽i⩽n et (yi)1⩽i⩽n dans (ei)1⩽i⩽n : f(x) f(y)  = n X k=1 xkf(ek) n X l=1 ylf(el) ! = X 1⩽k,l⩽n xkyl f(ek) f(el)  = X 1⩽k,l⩽n k=l xkyl = n X k=1 xkyk = (x|y). ■ Théorème (Automorphisme orthogonal et sous-espaces stables) Soient f un automorphisme orthogonal de E et F un sous-espace vectoriel de E stable par f, i.e. tel que f(F) ⊂F. Alors F ⊥est aussi stable par f. Démonstration • Comme f est un automorphisme de E, c’est aussi un isomorphisme de F sur son image f(F). En particulier, F et f(F) sont de même dimension finie. L’inclusion f(F) ⊂F est donc en fait une égalité : f(F) = F. • Montrons que f(F ⊥) ⊂F ⊥. Soit t ∈F ⊥. Montrer que f(t) ∈F ⊥revient à montrer que f(t) est orthogonal à tous les vecteurs de F. Fixons donc y ∈F. Comme f(F) = F, y = f(x) pour un certain x ∈F. Or f est orthogonal et t ∈F ⊥, donc : f(t) y  = f(t) f(x)  = (t|x) = 0, et ainsi f(t) est orthogonal à y. ■ Définition (Automorphisme orthogonal positif/négatif) Soit f un automorphisme orthogonal de E. Alors det(f) = 1 ou det(f) = −1. On dit que f est positif si det(f) = 1 et négatif si det(f) = −1. Démonstration Soit (ei)1⩽i⩽n une base orthonormale de E. Notons M la matrice de f dans cette base et (Xi)1⩽i⩽n la base canonique de Rn. • Fixons i, j ∈J1, nK. Comme f est orthogonal : f(ei) f(ej)  = (ei|ej) = δij, donc matriciellement : t(MXi)(MXj) = δij. Bref : tXi(tMM)Xj = δij. Or il n’est pas dur de comprendre que tXi(tMM)Xj est le coefficient de tMM de position (i, j), donc ce coefficient vaut δij. Conclusion : tMM = In. • Enfin det(M)2 = det tM  det(M) = det tMM  = det(In) = 1, donc : det(f) = det(M) ∈ n −1, 1 o . ■ Théorème (Caractérisation des automorphismes orthogonaux positifs sur une base orthonormale directe) Soient f ∈L(E) et (ei)1⩽i⩽n une base orthonormale directe de E. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) f est orthogonal positif. (ii)  f(ei)  1⩽i⩽n est une base orthonormale directe de E. Démonstration Nous avons déjà vu qu’un endomorphisme de déterminant positif préserve l’orientation tandis qu’un endomorphisme de déterminant négatif la renverse. ■ Définition (Groupe orthogonal et groupe spécial orthogonal) (i) L’ensemble des automorphismes orthogonaux de E, noté O(E), est un sous-groupe du groupe linéaire GL(E) de E appelé le groupe orthogonal de E. (ii) L’ensemble des automorphismes orthogonaux positifs de E, noté SO(E) ou O+(E), est un sous-groupe de O(E) appelé le groupe spécial orthogonal de E. 2 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Démonstration (i) Pour commencer, O(E) ⊂GL(E). Ensuite IdE ∈O(E), car évidemment IdE préserve les produits scalaires. Enfin, si f, g ∈O(E), alors f −1 ◦g ∈O(E) car pour tous x, y ∈E : f −1 ◦g(x) f −1 ◦g(y)  f∈O(E) = f ◦f −1 ◦g(x) f ◦f −1 ◦g(y)  = g(x) g(y)  g∈O(E) = (x|y). (ii) Rappelons que le déterminant est un morphisme de groupes de GL(E) dans R∗, et par restriction, de O(E) dans n −1, 1 o . Tout simplement, SO(E) est le noyau de ce morphisme, donc un sous-groupe de O(E). ■ 1.2 Matrices orthogonales Définition (Matrice orthogonale) Soit M ∈Mn(R). On dit que M est orthogonale si tMM = M tM = In, i.e. si M est inversible d’inverse tM.    En pratique Pour montrer que M est orthogonale, il suffit en fait de vérifier que tMM = In ou M tM = In. Théorème (Automorphisme orthogonal et matrice orthogonale) Soient f ∈L(E) et B une base orthonormale de E. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : (i) f est orthogonal. (ii) Mat B (f) est orthogonale. $ $ $ Attention ! Il est essentiel que B soit orthonormale. Démonstration Posons M = Mat B (f) et n = dim E. (i) = ⇒(ii) On a déjà prouvé plus haut que tMM = In. (ii) = ⇒(i) Supposons M orthogonale. Alors f ∈O(E) car pour tous x, y ∈E de coordonnées respectives X, Y dans B : f(x) f(y)  = t(MX)(MY ) = tX tMM  Y = tXInY = tXY = (x|y). ■ Théorème (Caractérisation des matrices orthogonales au moyen de leurs lignes/colonnes) Soit M ∈Mn(R). Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) M est orthogonale. (ii) La famille des colonnes de M est une base uploads/Industriel/ cours-automorphismes-orthogonaux-et-matrices-orthogonales-29.pdf

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