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CPGE ATS Compléments mathématiques Jean-Philippe LUCE / ATS Rempart Marseille page 1 1. Relation de Chasles Soient A, B1, B2 trois points quelconques de l’espace : € AB2 = AB1 + B1B2 2. Barycentre d’un ensemble de points Une famille de points pondérés est une famille € B1,α1 ( ), € B2,α 2 ( ) ,…, € Bn,α n ( ) de couples dont le premier élément Bi est un point et le second αi est un réel, appelé poids (ou coefficient) affecté au point. On peut définir le barycentre de la famille € B1,α1 ( ), € B2,α 2 ( ) ,…, € Bn,α n ( ) de points pondérés avec € α1 + α 2 + .... + α n ≠0 par l’égalité : € α1GB1 + α 2GB2 + ....+ α nGBn = 0 Pour tout point M de l’espace, on a alors en utilisant la relation de Chasles : € α1MB1 + α 2MB2 + ....+ α n MBn = α1 + α 2 + ...+ α n ( )MG Si tous les poids αi sont égaux, le point G est appelé isobarycentre de la famille B1, B2, …, Bn. 3. Produit scalaire de deux vecteurs 3.1. Définitions 3.1.1. Expressions du produit scalaire Soient deux vecteurs € V 1 = AB1 et € V2 = AB2 de composantes respectives (X1, Y1, Z1) et (X2, Y2, Z2) relativement au repère cartésien (Ox, Oy, Oz), de base orthonormée € O, i, j , k ( ). € V 1 = X1i + Y 1 j + Z1k et € V2 = X2i + Y2 j + Z2k On note α l’angle entre € V 1 et € V2 . Le produit scalaire € V 1⋅V2 est défini par : € V 1 ⋅V2 = V 1 V2 cosα où € V désigne la norme du vecteur € V. € V 1⋅V2 = X1X2 + Y 1Y2 + Z1Z2 avec € i ⋅i = j ⋅j = k⋅k = 1 et € i ⋅j = j ⋅k = k⋅i = 0 3.1.2. Norme d’un vecteur € V⋅V = V 2 donc € V = V⋅V 3.1.3. Vecteur unitaire En faisant intervenir le vecteur unitaire € u, le vecteur € V de composantes X, Y, Z s’écrit : € V = Xi + Y j + Zk = V u Il en résulte : € u = V V = X X2 + Y2 + Z2 i + Y X2 + Y2 + Z2 j + Z X2 + Y2 + Z2 k 3.1.4. Commutativité Le produit scalaire est commutatif, distributif et associatif (par rapport à la somme vectorielle et au produit par un scalaire λ. € V 1⋅V2 = V2 ⋅V 1 € V 1⋅V2 + V3 ( ) = V 1⋅V2 + V 1⋅V3 € V 1 ⋅V2 ( )⋅V3 = V 1 ⋅V2 ⋅V3 ( ) € λV 1 ( )⋅V2 = V 1⋅λV2 ( ) = λ V 1⋅V2 ( ) Calcul vectoriel α CPGE ATS Compléments mathématiques Jean-Philippe LUCE / ATS Rempart Marseille page 2 3.2. Applications 3.2.1. Orthogonalité € V 1 ⊥V2 ⇔ V 1⋅V2 = 0 € α = V 1,V2 ( ) = π 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 3.2.2. Projection La projection VΔ du vecteur € V sur l’axe Δ, de vecteur unitaire € uΔ a pour expression : VΔ = HK = € V cosα soit € VΔ = V⋅uΔ 3.2.3. Calcul de longueur Déterminons la longueur du côté B1B2 du triangle AB1B2 : € B1B2 = B1A + AB2 = V2 −V 1 d’où : € B1B2 2 = V2 −V 1 ( ) 2 = V2 2 + V 1 2 −2V 1 ⋅V2 € B1B2 = AB2 2 + AB1 2 −2AB1 AB2 cosα C’est le résultat du théorème d’Al-Kashi 4. Produit vectoriel de deux vecteurs 4.1. Expressions du produit vectoriel Soient deux vecteurs € V 1 = AB1 et € V2 = AB2 , faisant entre eux un angle α. Le produit vectoriel € V 1 ∧V2 est défini par : € V 1 ∧V2 = V 1 V2 sinα u € u est un vecteur unitaire orthogonal à € V 1 et € V2 , donc au plan € V 1,V2 ( ). € u est orienté par la règle de Maxwell (on visse le tire-bouchon suivant le sens qui amène € V 1 vers € V2 , et l’on progresse suivant le vecteur € u. 4.2. Propriétés Le produit vectoriel est anticommutatif, distributif par rapport à la somme vectorielle, non associatif mais possède une sorte d’association relativement à la multiplication par un scalaire : € V 1 ∧V2 = −V2 ∧V 1 € V 1 ∧V2 + V3 ( ) = V 1 ∧V2 + V 1 ∧V3 € V 1 ∧V2 ( ) ∧V3 ≠V 1 ∧V2 ∧V3 ( ) Il suffit de faire le cas particulier € V 1 = V2 pour constater la non associativité. € λV 1 ( ) ∧V2 = V 1 ∧λV2 ( ) = λ V 1 ∧V2 ( ) Le produit vectoriel permet de déterminer le parallélisme de deux vecteurs : € V 1 //V2 ⇔ V 1 ∧V2 = 0 4.3. Composantes en coordonnées cartésiennes Dans la base orthonormée € O, i, j ,k ( ) : € i ∧j = k, j ∧k = i, k ∧i = j € i ∧i = j ∧j = k ∧k = 0 et € i 2 = j 2 = k 2 = 1 Considérons les vecteurs € V 1 = X1i + Y 1 j + Z1k et € V2 = X2i + Y2 j + Z2k ; le produit vectoriel € V 1 ∧V2 s’écrit : € X1i + Y 1 j + Z1k ( ) ∧X2i + Y2 j + Z2k ( ) = Y 1Z2 −Z1Y2 ( )i + Z1X2 −X1Z2 ( ) j + X1Y2 −Y 1X2 ( )k α α CPGE ATS Compléments mathématiques Jean-Philippe LUCE / ATS Rempart Marseille page 3 En pratique, on utilise la notation matricielle en calculant le déterminant : € V 1 ∧V2 = i j k X1 Y 1 Z1 X2 Y2 Z2 = i Y 1 Z1 Y2 Z2 −j X1 Z1 X2 Z2 + k X1 Y 1 X2 Y2 = Y 1Z2 −Z1Y2 ( )i + Z1X2 −X1Z2 ( )j + X1Y2 −Y 1X2 ( )k * Voir complément mathématique : matrice * 4.4. Interprétation géométrique Calculons l’aire du triangle AB1B2 : € A AB1B2 ( ) = 1 2 AB1 AB2 sinα € V 1 ∧V2 = V 1 V2 sinα = AB1AB2 sinα soit : € V 1 ∧V2 = 2A AB1B2 ( ) = aire du parallèlogrammeAB1CB2 4.5. Double produit vectoriel € V 1 ∧V2 ∧V3 ( ) = V 1 ⋅V3 ( )V2 −V 1 ⋅V2 ( )V3 € V 1 ∧V2 ( ) ∧V3 = V 1 ⋅V3 ( )V2 −V2 ⋅V3 ( )V 1 Ces deux relations permettent de vérifier que le produit vectoriel n’est pas associatif. 4.6. Identité de Jacobi € V 1 ∧V2 ∧V3 ( ) + V2 ∧V3 ∧V 1 ( ) + V3 ∧V 1 ∧V2 ( ) = 0 5. Produit mixte de trois vecteurs 5.1. Propriétés Le produit mixte € V 1,V2,V3 ( ) est défini par : € V 1,V2,V3 ( ) = V 1 ⋅V2 ∧V3 ( ) La permutation de deux vecteurs change le signe du produit mixte : € V 1,V2,V3 ( ) = −V3,V2,V 1 ( ) Une permutation circulaire directe des vecteurs ne change pas le produit mixte. € V 1,V2,V3 ( ) = V2,V3,V 1 ( ) = V3,V 1,V2 ( ) Le produit mixte est nul si : * deux vecteurs (parmi € V 1,V2,V3) sont colinéaires * les trois vecteurs € V 1,V2,V3 sont coplanaires 5.2. Interprétation géométrique Le produit mixte est égal au volume (affecté d’un signe) du parallélépipède de côtés € V 1,V2,V3. α uploads/Industriel/ calcul-vectoriel.pdf