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N. BOURBAKI N . BOURBAKI ET ANALYTIQUES Fascicule de résultats Réimpression inc

N. BOURBAKI N . BOURBAKI ET ANALYTIQUES Fascicule de résultats Réimpression inchangée de l'édition originale de 1967 et 1971 O Herman, Paris, 197 1 O N. Bourbaki, 1981 O N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 ISBN- 1 O 3-540-34396-2 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN- 13 978-3-540-34396-7 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrde ou partielle faite par quelque procédé que ce soit. sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les aiticles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Busiuess Media springercom Maquette de couverture: WMXDesign GmbH, Heidelberg Impnmé sur papier non acide 4113100NL - 5 4 3 2 1 0 AVERTISSEMENT Ce nouveau tirage du fascicule de résultats des variétés reprend sans changement les ouvrages parus antérieurement (fascicules XXXIII et xxxx~) en les regroupant en un seul volume. Nancago, automne 1982 N . BOURBAKI PREMIÈRE PARTIE Paragraphes 1 à 7 (97 pages) INTRODUCTION Ce fascicule rassemble les notions fondamentales et les principaux résultats de la théorie des variétés différentielles (sur le corps des nombres réels) et des variétés analytiques (sur un corps valué complet non discret), Il ne contient pas de démonstrations. Les dejînitions et les résultats des six premiers livres sont supposés connus. NOTATIONS ET CONVENTIONS (paragraphes 1 à 7) Corps & base Dans tout ce fascicule, la lettre K désigne, soit le corps valué R des nombres réels soit le corps valué C des nombres complexes, soit un corps valué complet commutatif non discret à valeur absolue ultramétrique (Top. Gén., ch. IX, 3*"' a . , § 3). Lorsque K est différent de R ou C, nous appellerons semi-norme (resp. norme) sur un espace vectoriel F sur K une ultra-semi-norme (resp. une ultra-semi-norme qui est une norme) sur F (Esp. Vect. Top., ch. II; 2' é d . , $1). Si y est une semi-norme sur F, et si x e F, on écrira parfois Il x 11, au lieu de y(x). On appellera espace normable un espace vectoriel topologique sur K dont la topologie peut être définie par une seule norme, et espace dc Banach un espace normable complet ' . On appellera espace polynormé un espace vectoriel topologique sur K dont la topologie peut être définie par une famille de semi-normes; lorsque K = R ou C, cette notion coïncide avec celle d'espace localement convexe. Si E et F sont des espaces polynormés, on notera 4pm(E; F) l'espace des applications m-linéaires continues de Em dans F, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de Em; c'est un espace polynormé. Si de plus E est normé, et si y est une semi-norme continue sur F, et si u E - Y , , , (E ; F), on note llull,. la borne inférieure des nombres réels a 3 O tels que ' Cette définition diffère de celle donnée dans Esp. Vect. Top, ch. I, 5 1, où l'on appelle espace de Banach un espace normi complet. 1 O VARIÉTÉS DIFF~ENTIELLES ET ANALYTIQUES Soit 1 un ensemble. Pour a = (ai) and B = (Bi) appartenant à N"', on pose (cf. Alg., ch. III, 3' éd., début du chapitre): On pose a < B lorsque ai , ( pi pour tout i~ 1, ce qui équivaut a l'existence de y EN(') tel que P = a + y; cet élément y est alors unique, et se note j ? - a. Si x = est une famille d'éléments commutant deux à deux dans un anneau A possédant un élément unité 1, on pose : xa = n Gi (en convenant que x0 = 1). ici On a x " + ~ = xa . xB. Pour i E 1, on note ei l'élément de N") dont toutes les coordonnées sont nulles, à l'exception de celle d'indice i qui est égale à 1. On a a = 2 aici pour tout élément a = (ai) de N"'. i d Restriction d'une application Si f est une application d'un ensemble A dans un ensemble B, et si C est une partie de A, on note f lC la restriction de f à C. Les éléments oo et o On adjoint à l'ensemble des entiers deux éléments notés et o. La relation d'ordre entre entiers est prolongée par la convention n < oo < o pour tout entier n. On pose : La lettre r désigne soit un entier 2 1, soit l'un des éléments oo ou o. Lorsque K # R, la lettre r désigne toujours l'élément o. Lorsque r = oo (resp. r = o), on pose r - k = r pour tout entier k 2 1. Fascicule de résultats 9 1. Fonctions différentiables Dans ce paragraphe, la lettre E désigne un espace vectoriel topologique normable sur K ; la lettre F désigne un espace polynormé séparé sur K. 1.1 Ordre de contact & deux fonctions en un point 1.1.1. Soient X un espace topologique et 8 une fonction numérique positive définie dans un voisinage d'un point x, de X. On dit qu'une fonction f, définie dans un voisinage de x, et à valeurs dans F, est négligeable devant 8 en x, si la condition suivante est satisfaite : Pour tout E > 0 et pour toute semi-norme y continue sur F, il existe un voisinage V de x, sur lequel f et 8 sont définies et tel que Il f (x)l], < e8(x) pour tout x E V . Pour que f soit négligeable devant 0, il suffit que cette condition soit satisfaite pour une famille de semi-normes y définissant la topologie de F. Le faite que f soit négligeable ou non devant O en x, ne dépend que des germes de f et de 8 en x,. On désigne par o,(B) (ou o(8) lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité sur x,) l'ensemble des germes en x, de fonctions négli- geables devant 8 en x, : c'est un sous-espace vectoriel de i'espace des germes en x, d'applications à valeurs dans F. Si f est négligeable devant O, on écrira par abus de notations, f t z o,,(O) ou encore f (x) E o(O(x)) lorsque x tend vers x,. Si f et g sont deux applications d'un voisinage de x, dans F, on écrira encore f r g mod O($) si f - g est négligeable devant 8. Supposons que K soit égal à R ou C et que x, soit adhérent a l'ensemble Y des pomts de X où 8 est définie et non nulle. La relation fez O($) signifie alors que f(x)/O(x) tend vers O lorsque x tend vers x, en restant dans Y, et que 8(x) = O entraîne f (x) = 0. 1.1.2. Soient f et g deux fonctions a valeurs dans F, définies au voisinage d'un point x, de E. Si m est un entier positif, on dit que f et g ont un contact d'ordre 3 m en x, si l'on a : f(x) - g(x) E o(11x - xollm) pour x tendant vers x, 12 VARIÉ~ÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES 0 1 quelle que soit la norme choisie pour définir la topologie de E. Pour cela, il suffit que la relation précédente soit vérifiée pour une norme définissant la topologie de E. S'il en est ainsi, on a f (x,) = g(x,). Si f et g prennent la même valeur en x, on appelle ordre de contact de f et g en x, la borne supérieure (finie ou égale à + oo) des entiers m tels que f et g aient un contact d'ordre 2 m en x,. 1.1.3. L'ordre de contact de f et g en x, ne dépend que des germes de ces fonctions au point x,. On peut donc parler de l'ordre de contact de deux germes cp et t , b d'applications de E dans F au point x,. La relation « cp et t + $ ont un contact d'ordre 3 m » est une relation d'équivalence com- patible avec la structure vectorielle. 1.2. Fonctions dérivables en un point 1.2.1. Soit f une fonction définie dans un voisinage du point x, de E et à valeurs dans F. O n dit que f est dérivable en x, s'il existe une fonction affine continue Y de E dans F ayant en x, un contact d'ordre 2 1 avec 1 : Cette application u est unique; il existe une application linéaire continue et une seule, notée D f (x,), de E dans F telle que: D(x) = Nxo) + Df ( ~ 0 ) . (x - ~ 0 ) - Si I'on choisit une norme sur E, ceci équivaut à : f (xo + h) = f (x,) + Df (x,) . h mod O([[ hll) pour h tendant vers O, ce que I'on peut encore uploads/Industriel/ n-bourbaki-elements-de-mathematique-varietes-differentielles-et-analytiques-fascicule-de-resultats-2009-springer.pdf