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Cartes de contrôle aux mesures 1 Une introduction à la maîtrise statistique des

Cartes de contrôle aux mesures 1 Une introduction à la maîtrise statistique des processus Deux objets ne sont jamais rigoureusement identiques. Quelles que soient les techniques utilisées pour fabriquer ces objets, si précis soient les outils, il existe une variabilité dans tout processus de production. L’objectif de tout industriel est que cette « variabilité naturelle » demeure dans des bornes acceptables. C’est une préoccupation majeure dans l’amélioration de la qualité industrielle. Un des outils utilisés pour tendre vers cette qualité est la Maîtrise Statistique des Processus (MSP). Si vous produisez un certain type d’objets, et si vous souhaitez conserver vos clients pour pérenniser votre entreprise, vous devez vous assurer que les lots que vous leur livrez sont conformes à ce qui a été convenu entre vous, le plus souvent par contrat. Tout industriel sérieux eﬀectue des contrôles sur les lots produits pour en vériﬁer la qualité, qu’il en soit le producteur ou bien qu’il les réceptionne. Diverses techniques statistiques liées aux prélè- vements d’échantillons sont alors utilisées pour éviter, dans la plus part des cas, de vériﬁer un à un tous les objets contenus dans un lot. Ce contrôle d’échantillons prélevés dans des lots est indispensable si les contrôles à eﬀectuer détruisent l’objet fabriqué, comme lors d’une analyse de la dose de composant actif contenue dans un comprimé. Il existe cependant des cas où l’on préfère vériﬁer tous les objets ; il est par exemple souhaitable que les freins d’une voiture fonctionnent et un contrôle du freinage sur un échantillon dans la production d’un lot d’automobiles ne garantie par que tous les véhicules freinent correctement... Lorsqu’un lot est contrôlé, il est conforme ou il ne l’est pas. S’il est conforme, on le livre (fournisseur) ou on l’accepte (client). S’il n’est pas conforme, on peut le détruire, en vériﬁer un à un tous les éléments et ne détruire que ceux qui ne sont pas conformes, etc. Toutes les solutions pour traiter les lots non conformes sont onéreuses. Si le lot n’est pas conforme, le mal est fait. La MSP se ﬁxe pour objectif d’éviter de produire des lots non conformes en surveillant la production et en intervenant dès que des anomalies sont constatées. Une bonne MSP permet de supprimer un nombre important de contrôle in ﬁne des lots produits. 1.1 Processus sous contrôle On dit que le processus de production est sous contrôle, est maîtrisé, lorsque les caractéris- tiques du produit fabriqué varient peu dans le temps, d’un produit à l’autre et sont conformes à ce que l’on désire obtenir. Dans ce cas, il n’existe pas de cause précise faisant varier les caractéristiques du produit. La variabilité n’est due qu’aux limitations techniques du procédé de fabrication, à des causes aléatoires. Pour savoir si le processus est sous contrôle, on prélève régulièrement de petits échantillons. Si la caractéristique contrôlée est une mesure (poids, taille, concentration, etc), le processus est 1 2 2 LES CARTES DE CONTRÔLE AUX MESURES DE SHEWHART sous contrôle lorsque la moyenne (l’espérance) dans chaque échantillon de cette caractéristique est égale à une valeur cible µ0 ﬁxée et lorsque l’écart-type dans chaque échantillon est égal à un écart-type naturel σ0. Alors que µ0 est ﬁxée pour répondre à la demande des clients, à un cahier des charges, à la qualité du produit, σ0 dépend essentiellement du processus de production, de la technologie mise en oeuvre. si la caractéristique contrôlée est une proportion d’objets non conformes (d’objets conformes) dans chaque lot, le processus est sous contrôle lorsque cette proportion est en moyenne dans chaque échantillon égale à une valeur cible p0. La proportion p0 est ﬁxée de sorte à respecter les normes de qualités ﬁxées par contrat ou par obligation légale. On cherche bien sûr à avoir une valeur de p0 (proportion d’objets non conformes) voisine de 0. Si la caractéristique contrôlée est un nombre de défauts par objet, le processus est sous contrôle quand ce nombre est en moyenne égal à une valeur cible λ0 ﬁxée. Idéalement λ0 = 0 ; cependant, on tolère souvent quelques défauts mineurs, comme des défauts d’aspect. 1.2 Processus hors contrôle Un processus hors contrôle, non maîtrisé, est le contraire d’un processus sous contrôle. Le processus est hors contrôle quand il existe une variabilité trop importante ou des carac- téristiques non conformes à celles souhaitées. Il peut exister plusieurs causes, dites : causes spéciales, ou encore : causes assignables, à ce dysfonctionnement. Un changement d’équipe, de technicien sur une machine, le dérèglement d’une machine, une panne, des conditions clima- tiques particulières, etc, peuvent être à l’origine d’un processus hors contrôle. Dans les cas les plus graves, il faut revoir entièrement un processus de fabrication inadapté aux objectifs ﬁxés. 1.3 La MSP La Maîtrise Statistique des Processus à pour but de mettre en place des outils statistiques de surveillance des processus de fabrication. L’outil de base de la MSP que nous étudierons est la carte de contrôle. Elle est constituée de tests statistiques paramétriques de conformité. 2 Les cartes de contrôle aux mesures de Shewhart Le caractère étudié est un mesure (poids, concentration d’un composant chimique, cote, etc). L’objectif d’une carte de contrôle aux mesures est de détecter la présence de causes assignables de dérèglement du processus de production. Le fondement théorique de conception des cartes de contrôle est que le caractère numérique étudié est réparti dans la population, dans l’ensemble de la production, suivant une loi normale. 2.1 Cartes de contrôle d’étude initiale Ces cartes sont destinées à la mise sous contrôle du processus. Ces cartes de contrôle sont aussi appelées : cartes de contrôle de phase I, ou encore : cartes de contrôle pour la maîtrise. Leurs paramètres sont déterminés à l’aide de mesures eﬀectuées sur une vingtaine d’échantillons de petite taille. Pour les valeurs des diﬀérents coeﬃcients nécessaires aux calculs, on se reportera au tableau des coeﬃcients le l’annexe. DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008 2.1 Cartes de contrôle d’étude initiale 3 2.1.1 Cartes (X, R) On adopte le point de vue probabiliste des variables aléatoires. Pour m échantillons préle- vés, on note X1, X2, . . . , Xm les m variables aléatoires qui associent à chaque échantillon, la moyenne dans l’échantillon du caractère étudié. On déﬁnit alors la variable aléatoire, moyenne des moyennes des échantillons : ˆ µ = X = 1 m m X i=1 Xi ˆ µ est un estimateur sans biais de la moyenne du caractère dans l’ensemble de la production (population). Un estimateur plus inattendu, que nous n’avons pas encore utilisé est l’estimateur ˆ σ de l’écart type du caractère dans la production. Cet estimateur utilise la variable aléatoire R déﬁnie par : R = 1 m m X i=1 Ri où chaque variable aléatoire Ri associe à chaque échantillon, son étendue. On a alors : ˆ σ = R d2 où d2 est un coeﬃcient dépendant de la taille n des échantillons. Carte de contrôle de la moyenne : carte X La carte de contrôle de la moyenne, ou carte X, est constituée d’une ligne centrale corres- pondant à la valeur LC = ˆ µ, et de deux lignes de contrôle correspondant respectivement aux limites supérieures (LSC) et inférieures de contrôle (LIC). Figurent aussi parfois deux lignes supplémentaires : les limites de surveillance. Dans toute carte de contrôle de Shewhart de phase I, les limites de contrôle ont un écart à la moyenne ˆ µ égal à 3 ˆ σ √n, pour des échantillons de taille n. On a donc : LC = ˆ µ LSC = ˆ µ + 3 ˆ σ √n LIC = ˆ µ −3 ˆ σ √n En posant A2 = 3 d2 √n, on obtient : LC = ˆ µ LSC = ˆ µ + A2R LIC = ˆ µ −A2R Pour obtenir les valeurs de A2, il suﬃt de se reporter à la table donnée en annexe. Construction de la carte : On prélève (eﬀectivement) m échantillons de taille n. On a alors une réalisation des diﬀérentes variables aléatoires présentées ci-dessus. On calcule, avec les règles indiquées, les diﬀérentes valeurs prises par ces variables aléatoires. On trace sur la carte de contrôle la ligne centrale et les lignes de contrôle. On porte sur la carte, pour i = 1, . . ., m, les points Mi de coordonnées (i, ¯ xi), où ¯ xi désigne la moyenne du caractère étudié dans l’échantillon numéro i. T. Cuesta IUT de Créteil 4 2 LES CARTES DE CONTRÔLE AUX MESURES DE SHEWHART Règle de décision : – si tous les points Mi sont situés entre les linges de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ; – si des points Mi sont situés en dehors des limites de contrôle, le processus est déclaré non maîtrisé. Si le processus est déclaré non maîtrisé, il est bon de comprendre dans quelles circonstances les échantillons ont été prélevés pour tenter de cerner si le processus est globalement inadapté ou s’il existe des causes spéciales à la variabilité excessive des moyennes. Exemple 2.1 (Exemple de carte X :) Dans une laiterie, un nouveau processus de production uploads/Industriel/ cartes-de-controle-aux-mesures.pdf