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Mathématiques I Concours Centrale-Supélec 2002 1/8 Mathématiques I Filière MP P

Mathématiques I Concours Centrale-Supélec 2002 1/8 Mathématiques I Filière MP Préliminaires et objectif du problème On rappelle que et que Pour tout entier on note le sous-espace vectoriel de constitué par les polynômes à coefﬁcients complexes de degré inférieur ou égal à . On munit l’algèbre des fonctions à valeurs complexes continues sur le segment de la norme de la convergence uniforme, déﬁnie par . Tout polynôme de est identiﬁé à la fonction polynomiale qu’il induit sur . Soit une suite de réels positifs. • On dit que cette suite est à décroissance rapide si pour tout entier elle est dominée par la suite , c’est-à-dire si , . On note l’ensemble des fonctions pour lesquelles il existe une suite de polynômes telle que : • , • la suite est à décroissance rapide. • On dit que cette suite est à décroissance exponentielle si, pour un certain réel , elle est dominée par la suite géométrique , c’est-à-dire si , , , On note l’ensemble des fonctions pour lesquelles il existe une suite de polynômes telle que : • , • la suite est à décroissance exponentielle. IN∗ IN \ 0 { } = Z Z∗ Z Z\ 0 { } . = n IN ∈ I Cn X [ ] I C X [ ] n C 1 1 , – [ ] I C , ( ) 1 1 , – [ ] ∞ f C 1 1 , – [ ] I C , ( ) ∈ ∀ ( ) f ∞ , sup x 1 1] , – [ ∈ f x ( ) = I C X [ ] 1 1 , – [ ] λn ( )n IN ∈ λn ( )n IN ∈ k IN ∈ n k – ( )n IN∗ ∈ k IN ∈ ∀ ( ) Mk IR+ ∈ ∃ ( ) n IN∗ ∈ ∀ ( ) λn Mk nk - - - - - - - - ≤ E∞ f C 1 1 , – [ ] I C , ( ) ∈ Qn ( )n IN ∈ n ∀ IN ∈ Qn I Cn X [ ] ∈ f Qn – ∞ ( )n IN ∈ λn ( )n IN ∈ r ]0 1 [ , ∈ rn ( )n IN ∈ r ]0 1 [ , ∈ ∃ ( ) M IR+ ∈ ∃ ( ) n IN ∈ ∀ ( ) λn Mrn ≤ Eexp f C 1 1 , – [ ] I C , ( ) ∈ Qn ( )n IN ∈ n ∀ IN ∈ Qn I Cn X [ ] ∈ f Qn – ∞ ( )n IN ∈ Concours Centrale-Supélec 2002 2/8 Filière MP Mathématiques I Filière MP Remarque : Une suite à décroissance rapide (resp. exponentielle) converge vers mais n’est pas forcément décroissante. L’objectif du problème est de montrer, en utilisant les propriétés des polynômes de Tchebychev établies en Partie I, que les fonctions de l’ensemble sont exac- tement les fonctions de classe sur et de relier les fonctions de l’ensemble aux fonctions dont la série de Taylor en tout point converge vers sur un voisinage de . a) Vériﬁer que si une suite est à décroissance exponentielle alors elle est à décroissance rapide. b) Vériﬁer que les ensembles et sont des sous-espaces vectoriels de . Quelle relation d’inclusion existe-t-il entre ces deux sous-espaces ? c) i) Soit une fonction de classe sur dont toutes les dérivées sont bornées sur par un même réel . Montrer que . ii) Donner des exemples de fonctions de . Partie I - Polynômes de Tchebychev Pour tout entier on pose : . I.A - Premières propriétés des I.A.1) Montrer que est une fonction polynomiale à coefﬁcients entiers. Le polynôme associé est encore noté et s’appelle le ième polynôme de Tche- bychev. I.A.2) Expliciter , , et . I.A.3) Montrer que pour tout , . I.A.4) En déduire la parité, le degré et le coefﬁcient dominant de . I.A.5) Écrire un algorithme pour calculer . On pourra employer le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé ou un langage naturel non ambigu. 0 E∞ C∞ 1 1 , – [ ] f Eexp f f n ( ) a ( ) n! - - - - - - - - - - - - - - - - - - x a – ( )n n 0 ≥ ∑ a 1 – 1 [ , ] ∈ f x ( ) a E∞ Eexp C 1 1 , – [ ] I C , ( ) f C∞ 1 1 , – [ ] 1 1 , – [ ] M f Eexp ∈ Eexp n IN ∈ x 1 1 , – [ ] ∈ ∀ ( ), Tn x ( ) narc x cos ( ) cos = Tn Tn Tn n– T1 T2 T3 T4 n IN ∈ Tn 2 + x ( ) 2xTn 1 + x ( ) Tn x ( ) – = Tn Tn X ( ) Mathématiques I Filière MP Concours Centrale-Supélec 2002 3/8 I.A.6) Montrer que, pour tout , on a : . I.B - Calcul de normes I.B.1) Calculer . I.B.2) Montrer que . I.B.3) En déduire que . I.C - Encadrement de sur I.C.1) Montrer que . I.C.2) Soit un réel . a) Montrer qu’il existe , tel que . b) En déduire que . I.D - Équation différentielle vériﬁée sur par I.D.1) En dérivant l’égalité valable pour tout réel , trouver une équation différentielle linéaire homogène du second ordre vériﬁée sur par . I.D.2) Soit , . Déduire de la question I.D.1 que . Montrer que . Partie II - Application des polynômes de Tchebychev à la majoration des polynômes et de leurs dérivées On introduit la subdivision du segment déﬁnie par : , . Par ailleurs, pour tout on appelle l’ensemble des entiers naturels autres que qui sont inférieurs ou égaux à . Enﬁn, pour tout on note le -ème polynôme élémentaire de Lagrange associé à la subdivision . t 0 π , [ ] ∈ Tn t cos ( ) nt cos = Tn ∞ n ∀ IN ∈ ( ) u ∀ IR ∈ ( ), nu sin n u sin ≤ T′ n ∞ n2 = Tn x ( ) 1 +∞ ∞ ∞ ∞[ , , , , [ r IR∗ ∈ ∀ ( ), Tn r r 1 – + 2 - - - - - - - - - - - - - - - -     rn r n – + 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = x 1 +∞[ , [ ∈ r IR∗ ∈ x r r 1 – + 2 - - - - - - - - - - - - - - - - = 1 Tn x ( ) x x2 1 – +    n ≤ ≤ IR Tn Tn t cos ( ) nt cos = t 0 π , [ ] ∈ IR Tn k IN ∈ k n ≤ Tn k ( ) 1 ( ) n n k + - - - - - - - - - - - - - n k + ( )! n k – ( )! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2kk! 2k ( )! - - - - - - - - - - - - - = Tn k ( ) 1 – ( ) 1 – ( )n k + Tn k ( ) 1 ( ) = σ a0 a1 … an , , , ( ) = 1 – 1 , [ ] j ∀ 0 n , [ ] ∈ a j 1 j n - - - –    π cos = i 0 n , [ ] ∈ Ei 0 n , [ ] \ i { } = i n i 0 n , [ ] ∈ Li X ( ) X a j – ( ) j Ei ∈ ∏ ai a j – ( ) j Ei ∈ ∏ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = i σ Mathématiques I Filière MP Concours Centrale-Supélec 2002 4/8 II.A - Majoration d’un polynôme sur II.A.1) Résoudre sur l’équation et calculer pour , pour puis pour . II.A.2) Montrer que . II.A.3) On suppose que . Montrer que . II.A.4) Soit un polynôme appartenant à . Montrer que , . II.B - Majoration des dérivées successives d’un polynôme sur II.B.1) On suppose que . Montrer que : , . II.B.2) Soit un polynôme appartenant à . Montrer uploads/Industriel/ centrale-supelec-mp-2002-maths-1-epreuve.pdf