Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Automatique Dynamique et contrôle des systèmes Nicolas Petit Pierre Rouchon Cen

Automatique Dynamique et contrôle des systèmes Nicolas Petit Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes École des Mines de Paris 1 Avant propos : un bref rappel de l’histoire de l’Automatique Les mécanismes de régulation et d’adaptation sont largement répandus dans la nature. Ces mécanismes sont aussi à la base du fonctionnement des systèmes créés et utilisés par l’homme. Depuis très longtemps, on les retrouve dans di- verses machines et inventions. Avec la révolution industrielle et le régulateur de Watt, on a vu apparaître les premières études modernes : modélisation (avec les équations diﬀérentielles inventées par Newton) et stabilité. Le point de départ de la théorie mathématique des systèmes remonte ainsi aux travaux du mathématicien et astronome anglais G. Airy. Il fut le premier à tenter une analyse du régulateur de Watt. Ce n’est qu’en 1868, que le physicien écos- sais J. C. Maxwell publia une première analyse mathématique convaincante et expliqua certains comportements erratiques observés parmi les nombreux régulateurs en service à cet époque. Ses travaux furent le point de départ de nombreux autres sur la stabilité, notion marquée par le travail de H. Poincaré et A. M. Lyapounov, sa caractérisation ayant été obtenue indépendamment par les mathématiciens A. Hurwitz et E. J. Routh. Durant les années 1930, les recherches aux “Bell Telephone Laboratories” sur les ampliﬁcateurs ont été à l’origine de notions encore enseignées aujourd’hui. Citons par exemple les travaux de Nyquist et de Bode caractérisant à partir de la réponse fré- quentielle en boucle ouverte celle de la boucle fermée. Tous ces développements ont vu le jour dans le cadre des systèmes li- néaires ayant une seule commande et une seule sortie. On disposait d’une mesure sous la forme d’un signal électrique. Cette dernière était alors en- trée dans un ampliﬁcateur qui restituait en sortie un autre signal électrique qu’on utilisait comme signal de contrôle. Ce n’est qu’après les années 1950 que les développements théoriques et technologiques (avec l’invention des cal- culateurs numériques) permirent le traitement des systèmes multi-variables linéaires et non linéaires ayant plusieurs entrées et plusieurs sorties. Citons comme contributions importantes dans les années 1960 celles de R. Bellmann avec la programmation dynamique, celles de R. Kalman avec la commanda- bilité, le ﬁltrage et la commande linéaire quadratique ; celles de L. Pontryagin avec la commande optimale. Ces contributions continuent encore aujourd’hui à alimenter les recherches en théorie des systèmes. Le champ d’application s’est considérablement étendu. Alors qu’aujourd’hui l’Automatique est omni- présente dans les domaines industriels tels que l’aéronautique, l’aérospatiale, l’automobile, ou le génie des procédés, certaines recherches actuelles s’ap- puyant sur des notions clés présentées dans ce cours concernent la construc- tion d’un premier calculateur quantique. 2 Objectif de ce cours Le but est de présenter les notions et outils fon- damentaux nécessaires à l’analyse et au contrôle des systèmes. Ce cours est articulé autour des trois thèmes suivants : – Systèmes dynamiques : stabilité, robustesse, théorie de perturbations. – Commandabilité : stabilisation par bouclage, planiﬁcation et suivi de trajectoire. – Observabilité : estimation, observateur asymptotique, ﬁltrage et diag- nostic. Le cours part de quelques exemples issus du monde industriel ou acadé- mique. Chaque exemple motive et justiﬁe les déﬁnitions et résultats abstraits sur lesquels reposent une classe d’algorithmes de contrôle et/ou d’estimation. Dans bien des domaines scientiﬁques, une théorie a très souvent pour origine une petite collection d’exemples bien compris et analysés. Nous nous inscri- vons dans cette démarche. Une approche qui part du particulier pour aller vers le général permet aussi de mieux comprendre les ressorts fondamentaux sur lesquels reposent certains résultats mais aussi de bien cerner leur limita- tions. L’Automatique est un domaine actif de recherche. Le cours abordera certaines questions qui n’admettent pas de réponse claire aujourd’hui bien qu’elles aient de fortes motivations pratiques. Note de cette édition Nous vous serions reconnaissants de nous faire part de vos critiques et des erreurs que vous auriez découvertes par un message explicatif à nicolas.petit@ensmp.fr ou à pierre.rouchon@ensmp.fr en identiﬁant votre message par “Poly Mines corrections”. Nicolas Petit et Pierre Rouchon Février 2008 Table des matières 1 Systèmes dynamiques et régulateurs 7 1.1 Systèmes dynamiques non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Sensibilité et première variation . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Stabilité locale autour d’un équilibre . . . . . . . . . . 15 1.2 Systèmes dynamiques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 L’exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Forme de Jordan et calcul de l’exponentielle . . . . . . 19 1.2.3 Portraits de phases des systèmes linéaires . . . . . . . . 22 1.2.4 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.5 Systèmes linéaires instationnaires . . . . . . . . . . . . 27 1.2.6 Compléments : matrices symétriques et équation de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Stabilité des systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.1 Étude au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.2 Fonctions de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.3 Robustesse paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.4 Compléments : caractère intrinsèque des valeurs propres du système linéarisé tangent . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3.5 Compléments : les systèmes dynamiques dans le plan . 38 1.4 Systèmes multi-échelles lents/rapides . . . . . . . . . . . . . . 45 1.4.1 Perturbations singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4.2 Feedback sur un système à deux échelles de temps . . . 51 1.4.3 Modèle de contrôle et modèle de simulation . . . . . . 52 1.5 Cas d’étude : PI et thermostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.5.1 Présentation du système . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.5.2 Un régulateur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.5.3 Une modélisation simpliﬁée . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.5.4 Passage en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.5.5 Simulations en boucle ouverte et en boucle fermée . . . 60 3 4 TABLE DES MATIÈRES 1.5.6 Un résultat général : régulateur PI sur un système non linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.5.7 Dynamiques négligées : rôle du contrôle dans l’approxi- mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.5.8 Intérêt de la pré-compensation (feedforward) . . . . . . 69 1.5.9 Pré-compensation et suivi de trajectoires sur un sys- tème linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 71 1.6 Cas d’étude : contrôle hiérarchisé et régulateurs en cascade . . 73 2 Fonctions de transfert 77 2.1 Passage à la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.1.1 Questions de robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.1.2 Principe des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.1.3 Régime asymptotique forcé . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.1.4 Simpliﬁcations pôles-zéros . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.1.5 Formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Industriel/ que-dynamique-et-controle-des-systemes.pdf