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Université Ibn Tofaïl École Nationale de Commerce et de Gestion - Kénitra Maste

Université Ibn Tofaïl École Nationale de Commerce et de Gestion - Kénitra Master Actuariat et Finance Semestre 2 Année universitaire 2017/2018 Analyse des Séries Temporelles Examen Final Durée : 2 heures NB : La justiﬁcation de la réponse compte pour la moitié de la note. Ex. 1 — (5 points ) Les aﬃrmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. L’impact d’un choc aléatoire εt sur un processus stochastique yt s’aﬀaiblit avec le temps ; 2. La fonction d’autocovariance d’un processus stochastique dépend de son espérance mathématique ; 3. La trajectoire d’un processus stochastique est suﬃsante pour la vériﬁcation de sa stationnarité ; 4. Le bruit blanc est un processus stochastique sans mémoire. Answer (Ex. 1) — 1. Faux : Ceci n’est vrai que pour des processus stochastiques stationnaires. Dans le cas contraire, l’impact d’un choc peut rester constant au ﬁl du temps, voire s’ampliﬁer. 2. Faux : Quelle que soit son espérance mathématique, un processus est d’abord centré avant de calculer sa fonction d’autocovariance. Celle-ci ne fait donc intervenir que des processus centrés d’espérance nulle et ne dépend pas de l’espérance mathématique du processus stochastique d’origine. 3. Faux : La trajectoire d’un processus stochastique donne seulement une idée sur son espérance ma- thématique et sur sa variance mais elle ne donne aucune information sur sa fonction d’autocovariance qui fait partie des trois conditions de stationnarité à vériﬁer. 4. Vrai : La mémoire d’un processus stochastique est mesurée par sa fonction d’autocorrélation. Or, celle-ci est le rapport entre la fonction d’autocovariance (qui est nulle dans le cas d’un bruit blanc) et la variance du processus stochastique en question. Par conséquent, la fonction d’autocorrélation d’un bruit blanc est nulle. Le bruit blanc est donc un processus stochastique sans mémoire. Ex. 2 — (5 points) Faire correspondre chacun des modèles suivants à une fonction d’autocorrélation de la ﬁgure ci-dessous : 1. yt = −0.5yt−1 + εt ; εt ∼WN(0, 1) 2. yt = 0.5yt−1 + εt ; εt ∼WN(0, 2) 3. yt = 0.9yt−1 + εt ; εt ∼WN(0, 1) 4. yt = 0.05yt−1 + εt ; εt ∼WN(0, 2) Answer (Ex. 2) — Il s’agit de quatre modèles autorégressifs d’ordre 1 stationnaires s’écrivant sous la forme suivante : yt = αyt−1 + εt ; εt ∼WN(0, σ2 ε) Ces modèles étant centrés, leur fonction d’autocovariance γk correspond simplement à l’espérance mathé- 1 (a) (b) (c) (d) matique d’un produit de processus : γk ≡cov(yt, yt−k) = E(ytyt−k) Elle se calcule selon les étapes suivantes : yt = αyt−1 + εt ytyt−k = αyt−1yt−k + εtyt−k E(ytyt−k) = αE(yt−1yt−k) + E(εtyt−k) γk = αγk−1 + E(εtyt−k) (1) Ainsi, la fonction d’autocovariance d’ordre k est égale à la fonction d’autocovriance d’ordre k −1 multipliée par le coeﬃcient autorégressif α, plus un terme E(εtyt−k) qu’il reste à déterminer. Les processus εt et yt−k étant centrés, le terme E(εtyt−k) est donc une covariance entre ces deux processus cov(εt, yt−k) et elle se calcule comme suit : yt−k = αyt−k−1 + εt−k εtyt−k = αεtyt−k−1 + εtεt−k E(εtyt−k) = αE(εtyt−k−1) + E(εtεt−k) cov(εt, yt−k) = αcov(εt, yt−k−1) + cov(εt, εt−k) 2 Ainsi, cov(εt, yt) = cov(εt, εt) = σ2 ε si k = 0 et cov(εt, yt−k) = 0 si k > 0. La relation (1) peut être évaluée pour diﬀérentes valeurs de k et servir ensuite dans le calcul de la fonction d’autocorrélation ρk = γk/γ0 : γ0 = αγ1 + σ2 ε γ1 = αγ0 γ2 = αγ1 = α2γ0 γ3 = αγ2 = α3γ0 γ4 = αγ3 = α4γ0 γ5 = αγ4 = α5γ0 γ6 = αγ5 = α6γ0 ⇒ ρ0 = 1 ρ1 = α ρ2 = α2 ρ3 = α3 ρ4 = α4 ρ5 = α5 ρ6 = α6 Le tableau ci-dessous donne les valeurs de la fonction d’autocorrélation ρk pour des valeurs du coeﬃcient autorégressif α ∈{ −0.5, 0.5, 0.9, 0.05} correspondant aux quatre modèles en question : α = −0.5 α = 0.5 α = 0.9 α = 0.05 ρ0 1 1 1 1 ρ1 -0.5000 0.5000 0.9500 0.0500 ρ2 0.2500 0.2500 0.9025 0.0025 ρ3 -0.1250 0.1250 0.8574 0.0001 ρ4 0.0625 0.0625 0.8145 0.00001 ρ5 -0.0313 0.0313 0.7738 0.0000003 ρ6 0.0156 0.0156 0.7351 0.00000002 —Modèle 1 (α = −0.5) : On note que la fonction d’autocorrélation décroît assez rapidement en valeur absolue et alterne son signe. Elle correspond au corrélogramme (b). —Modèle 2 (α = 0.5) : La fonction d’autocorrélation décroît assez rapidement et sans changer de signe. Elle correspond au corrélogramme (a). —Modèle 3 (α = 0.9) : La fonction d’autocorrélation décroît lentement et sans changer de signe. Elle correspond au corrélogramme (d). —Modèle 4 (α = 0.05) : La fonction d’autocorrélation chute brusquement et sans changer de signe. Elle correspond au corrélogramme (c). Ex. 3 — (5 points) On considère le modèle autorégressif yt suivant : yt = −0.3 + 0.3yt−1 −0.02yt−2 + εt , εt ∼WN(0, 2) (2) 1. Vériﬁer la stationnarité de yt. 3 2. Calculer l’espérance mathématique E (yt). 3. Écrire les équations de Yule-Walker relatives à ce modèle. 4. Calculer la fonction d’autocovariance γk pour k = 0, 1, 2 et conclure. Answer (Ex. 3) — 1. Stationnarité de yt : yt est un processus autorégressif d’ordre 2, il est stationnaire si et seulement si les racines de son équation caractéristique sont - en valeur absolue - strictement supérieures à l’unité. Écrivons d’abord le processus yt à l’aide d’un polynôme retard : yt = −0.3 + 0.3yt−1 −0.02yt−2 + εt yt = −0.3 + 0.3Lyt −0.02L2yt + εt yt(1 −0.3L + 0.02L2) = −0.3 + εt α(L)yt = −0.3 + εt avec α(L) = 1 −0.3L + 0.02L2. L’équation caractéristique associée à ce polynôme s’écrit : 1 −0.3z + 0.02z2 = 0 ou encore (en divisant par 0.02) : z2 −15z + 50 = 0 Les racines de cette équation sont 5 et 10, elles sont strictement supérieures à l’unité en valeur absolue. Il en résulte que le processus stochastique yt est stationnaire et qu’il a les propriétés statistiques suivantes à déterminer : E(yt) = µ < ∞, ∀t V (yt) = σ2 < ∞, ∀t cov(yt, yt−k) = γk , ∀t 2. Espérance mathématique E (yt) : Appliquons l’opérateur espérance mathématique aux deux membres de (2) : yt = −0.3 + 0.3yt−1 −0.02yt−2 + εt E(yt) = E(−0.3 + 0.3yt−1 −0.02yt−2 + εt) E(yt) = −0.3 + 0.3E(yt−1) −0.02E(yt−2) + E(εt) µ = −0.3 + 0.3µ −0.02µ + 0 µ(1 −0.3 + 0.02) = −0.3 µ = −0.3 1 −0.3 + 0.02 ≈−0.42 4 L’epérance mathématique du processus yt est voisine de 0.42. 3. Équations de Yule-Walker : La fonction d’autocovariance cov(yt, yt−k) du processus yt, notée γk, est donnée par : γk ≡cov(yt, yt−k) = E(yc tyc t−k) avec yc t = yt −µ et yc t−k = yt−k −µ les versions centrées respectives des processus yt et yt−k. En séries temporelles, un processus centré est simplement un processus sans terme constant. D’où : yc t = 0.3yc t−1 −0.02yc t−2 + εt yc tyc t−k = 0.3yc t−1yc t−k −0.02yc t−2yc t−k + εtyc t−k E(yc tyc t−k) = 0.3E(yc t−1yc t−k) −0.02E(yc t−2yc t−k) + E(εtyc t−k) γk = 0.3γk−1 −0.02γk−2 + cov(εt, yt−k) (3) La fonction d’autocovariance γk dépend de γk−1, de γk−2 et de la covariance cov(εt, yt−k) qu’il faut déterminer. Pour cela, il convient de centrer les processus qui ne le sont pas et d’appliquer l’espérance mathématique à leur produit de la manière suivante : yc t−k = 0.3yc t−k−1 −0.02yc t−k−2 + εt−k εtyc t−k = 0.3εtyc t−k−1 −0.02εtyc t−k−2 + εtεt−k E(εtyc t−k) = 0.3E(εtyc t−k−1) −0.02E(εtyc t−k−2) + E(εtεt−k) cov(εt, yt−k) = 0.3cov(εt, yt−k−1) −0.02cov(εt, yt−k−2) + cov(εt, εt−k) En substituant ce résultat dans (3), on obtient : γk = 0.3γk−1 −0.02γk−2 + 0.3cov(εt, yt−k−1) −0.02cov(εt, yt−k−2) + cov(εt, εt−k) (4) Finalement, pour des valeurs de k = 0, 1, 2, la relation (4) devient : γ0 = 0.3γ1 −0.02γ2 + 0.3cov(εt, yt−1) −0.02cov(εt, yt−2) + cov(εt, εt) γ1 = 0.3γ0 −0.02γ1 + 0.3cov(εt, yt−2) −0.02cov(εt, yt−3) + cov(εt, εt−1) γ2 = 0.3γ1 −0.02γ0 + 0.3cov(εt, yt−3) −0.02cov(εt, yt−4) + cov(εt, εt−2) Elle peut être simpliﬁée et donner le résultat suivant : γ0 = 0.3γ1 −0.02γ2 + V (εt) (5) γ1 = 0.3γ0 −0.02γ1 (6) γ2 = 0.3γ1 −0.02γ0 (7) En divisant, de part et d’autre, les équations (5), (6) et (7) par γ0, on aboutit aux équations de 5 Yule-Walker suivantes sachant que ρk = γk/γ0, ρ0 = 1 et V (εt) = 2 : 1 = 0.3ρ1 −0.02ρ2 + 2 γ0 (8) ρ1 = 0.3 −0.02ρ1 (9) ρ2 = 0.3ρ1 −0.02 (10) 4. Fonction d’autocovariance γk pour k = 0, 1, 2 : La résolution des équations (8), (9) et (10) permet d’obtenir la valeurs suivantes de γ0, ρ1 et ρ2 : γ0 ≈2.1882 ρ1 ≈0.29 ρ2 ≈0.067 On en déduit la fonction d’autocovariance γk pour k = 0, 1, 2 : γ0 ≈2.1882 γ1 = ρ1 × γ0 ≈0.6346 γ2 = ρ2 × γ0 ≈0.1466 Conclusion : la fonction d’autocovariance uploads/Industriel/ 2017-2018-examen-corrige.pdf