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Chapitre 1: Modélisation des systèmes non-linéaires (SNL) 1.1 Introduction Une

Chapitre 1: Modélisation des systèmes non-linéaires (SNL) 1.1 Introduction Une très grande classe de systèmes physiques, biologiques, économiques, etc. sont intrinsèquement non linéaire. Les systèmes non linéaires (SNL) sont d'intérêt pour les ingénieurs, physiciens et mathématiciens. D’où la nécessité de développer d’autres approches de commande pour ces systèmes. 1.2 Qu’est ce qu’un système non linéaire? En mathématiques, un système non-linéaire est celui qui ne satisfait pas le principe de superposition, ou celui dont la sortie n'est pas directement proportionnelle à son entrée: ) ( ) ( ) ( y f x f y x f        (1.1) Un système linéaire, par contre, remplit ces conditions. 2 Chapitre 1 1.3 Quelques exemples de SNL 1.3.1 Exemple 1: Système électrique (convertisseur Boost) Le schéma de principe d’un convertisseur de puissance continu-continu de type boost est illustré par la figure 1.1 suivante Figure 1.1 : Schéma de principe d’un hacheur de type Boost Le transistor est commandé en utilisant une commande MLI (modulation de largeur d’impulsion) qui est spécifiée comme suit            T t t T t t T t t t t t u k k k k k k ) ( pour 0 ) ( pour 1 ) (   (1.2) - k t : représente l’instant de commutation et T sa période. -  t  : fonction de rapport cyclique, elle représente la commande réelle pour les modèles moyennés, μ  [0, 1]. Modèle instantané: On prend le vecteur d’état le courant dans la bobine et la tension aux bornes de condensateur  T s L v i , (où T représente le transposé du). Les équations d’état associées à chacune des configurations sont les suivantes : Modélisation des SNL 3 - Pendant l’intervalle T t    0 , ( 1  u , transistor passant, diode bloquée : R v dt dv C E dt di L s s L    (1.3) - Pendant l’intervalle T t T    , ( 0  u , transistor bloqué, diode passante : R v i dt dv C v E dt di L s L s s L     (1.4) En combinant (1.3) et (1.4), et en tenant compte du fait que u est un signal binaire, on obtient s L s s L v RC C i u dt dv L E L v u dt di 1 ) 1 ( ) 1 (        (1.5) Modèle moyenné: Le modèle moyenné ("averaged model") du convertisseur, obtenu par "moyennage" de l’équation (1.5) le long d’une période de commutation sous l’hypothèse de faibles ondulations et de lentes variations, peut être décrit par les équations suivantes 2 1 2 2 1 1 ) 1 ( ) 1 ( x RC C x dt dx L E L x dt dx          (1.6) où 1 x , 2 x et représentent, respectivement, les moyennes le long d’une période de commutation de L i , s v et u (   L i x1 ,   s v x2 ,  u  ). Le modèle (1.6) est une modèle non-linéaire car il fait intervenir le produit d’une variable d’état et du signal de commande. 4 Chapitre 1 1.3.2 Exemple 2: Système d’énergie renouvelable (Photovoltaïque) On considère un système de chargeur de batterie à partir d’une énergie photovoltaïque dont le principe est illustré par la figure 1.2. Figure 1.2 : Chargeur de batterie à énergie photovoltaïque Le modèle moyenné de ce système peut être décrit par les équations d’état suivantes   p b b i C x C dt dx x L L E x R dt dx 1 1 1 ) 1 ( 1 2 2 1 1          (1.7) Avec   1 ) exp( 2    Ax I I i o ph p ,  1000 ) (  r I SCR ph T T K I I    , KT N q A   ,                       T T K qE T T I I r GO r or o 1 1 exp 3  (1.8) Modélisation des SNL 5 Les paramètres sont résumés dans le tableau 1.1 suivant Tableau 1.1 : Paramètres intervenant dans les équations (1.8) ph I Photo-courant (généré sous une radiation donnée); o I Courant inverse de saturation de la cellule or I Courant de saturation de la cellule à la température r T SCR I Courant de court-circuit à 298.15K et 1kW/m2 I K Coefficient de température de courant de court-circuit  La radiation solaire en W/m2 GO E Énergie de gap  Facteur d’idéalité r T température de référence T Temperature de la cellule K Constant de Boltzman q charge d’un électron Le système (1.7) est également non-linéaire (produit état-commande, forme exponentielle dans ip). 6 Chapitre 1 1.3.3 Exemple 3: bras d’un robot Figure 1.3 : Bras d’un robot L’équation qui régit un bras de robot (figure 1.3) en mouvement est la suivante ) ( ) ( sin ) ( t u t g m t J        (1.9) - u(t): commande en couple, - m : est la masse du bras, - J : son moment d’inertie par rapport à l’axe, - ℓ: la distance du centre de gravité à l’axe - et g l’accélération due à la pesanteur. En considérant les variables d’états la position et la vitesse de rotation (     , , 2 1  T x x on obtient la représentation suivante Modélisation des SNL 7 u J x J g m dt dx x dt dx 1 ) sin( 1 2 2 1      (1.10) Le modèle (1.10) est également non-linéaire à cause de la présence de sin(x1) 8 Chapitre 1 1.3.4 Exemple 4: Machine asynchrone: Le modèle d’un moteur asynchrone dans le repère (,) est donné comme suit   J T I I JL pM dt d p T I T M dt d p T I T M dt d V L kp T k I dt dI V L kp T k I dt dI L s r s r r r r r s r r r r r s r r s s r r r s s s s r r r s s                                                               1 1 1 1 (1.11) Avec r r r R L T  ; s rL L M k   ; s r r s L L M R R   2 2   s rL L M 2 1   : Coefficient de dispersion. p : nombre de paire de pôles. : vitesse de rotation. Le modèle (1.11) est non-linéaire à cause du produit entre les variables d’état. Modélisation des SNL 9 1.3.5 Exemple 5: Système hydraulique: On considère un système constitué par un réservoir dont on souhaite réguler le niveau d’un liquide (voir figure 1.4). Figure 1.4 : Régulation de niveau d’un liquide dans un réservoir On note : - ) ( ) ( t q t u e  : débit d’entrée, - ) (t qs : débit de sortie, - ) (t h : niveau du liquide dans le réservoir, - S: section du réservoir, - n s : section de la conduite de sortie - g : l’accélération due à la pesanteur. L’équation différentielle non-linéaire qui régit ce système s’écrit comme suit: ) ( 2 ) ( ) ( t h g s t u dt t dh S n    (1.12) 10 Chapitre 1 1.4 Représentation d’état des SNL 1.4.1 Cas général: Un système non linéaire peut être représenté par les équations suivantes:   t t u t x f x ), ( ), (   (1.13a)   t t u t x h y ), ( ), (  (1.13b) avec : - n IR t x  ) ( : vecteur d’état, - r IR t u  ) ( : vecteur de commande, - m IR t y  ) ( : vecteur de sortie.     T m T n t h t h h t f t f f ) ( , ), ( ) ( , ), ( 1 1    uploads/Industriel/ ch1-et-2-snl.pdf