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@rtS Cours de Turbomachines / Dr. SANYA S. Arthur O. - @rtS 1 Chapitre 2 : Dyna

@rtS Cours de Turbomachines / Dr. SANYA S. Arthur O. - @rtS 1 Chapitre 2 : Dynamique des fluides et turbomachines Les principes fondamentaux de la conservation de la masse, de la conservation de la quantité de mouvement et de la conservation d’impulsion angulaire (ou moment de la quantité de mouvement), sont des éléments clés pour les applications dans le domaine des turbomachines. Dans ce chapitre, on rappelle les expressions mathématiques de ces principes à la lumière de la notion de volume de contrôle. 1. CONSERVATION DE LA MASSE La conservation de la masse exprime que l’accumulation de matière dans un volume de contrôle est égale à la somme des flux massiques qui traversent les frontières du volume : 2. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT Le principe de la conservation de la quantité de mouvement indique que la sommation des forces est égale à l’accumulation de la quantité de mouvement dans un volume de contrôle plus la somme des flux de quantité de mouvement qui traversent les frontières du volume. 3. CONSERVATION DU MOMENT DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT Ce principe indique que la variation de l’impulsion angulaire est égale à la somme des moments des forces externes : @rtS Cours de Turbomachines / Dr. SANYA S. Arthur O. - @rtS 2 4. EQUATION D’EULER Le point de départ pour l’étude des turbomachines est l’équation d’Euler. Celle-ci peut être déduite aisément du principe de conservation de l’impulsion angulaire ou moment de la quantité de mouvement. On considère en particulier un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire dans le rotor d’une turbomachine ayant des conditions uniformes à l’entrée et à la sortie notées respectivement par les indices 1 et 2. On applique alors l’équation (3) à un filet de fluide entre ces deux points illustrés à la Figure 1 et celle-ci devient : Figure 1 : Rotor schématique et équation d’Euler. Par ailleurs, pour un écoulement unidimensionnel en régime permanent, l’équation de la conservation de la masse se traduit par : ou encore ; l’équation (4) devient : @rtS Cours de Turbomachines / Dr. SANYA S. Arthur O. - @rtS 3 Bien que cette expression de l’équation d’Euler est sous sa forme mathématique élégante, elle requiert des modifications pour être facilement utilisable. Dans une turbomachine, l’élément qui produit les changements importants dans le fluide est le rotor et un paramètre très important pour l’analyse est la variation de la vitesse dans les différents systèmes de référence. Les vecteurs de vitesse à considérer sont la vitesse périphérique au rayon par rapport au centre de rotation, la vitesse absolue du fluide mesuré dans le système fixe ou global et la vitesse relative dans un système solidaire à l’aubage en mouvement. Ces trois vitesses sont reliées par l’équation (7) : Dans ce contexte, on appelle la composante tangentielle de la vitesse absolue projetée dans la direction de , la composante dans la direction axiale et la composante méridionale de la vitesse selon la direction normale à (Figure 2). On considère que est positive si elle a la direction de et négative dans le cas contraire. L’introduction de ces définitions dans l’équation (4) conduit à l’équation fondamentale des turbomachines. Figure 2 : Rotor élémentaire. Il vient l’équation (8): @rtS Cours de Turbomachines / Dr. SANYA S. Arthur O. - @rtS 4 Pour un rotor ayant une vitesse de rotation , la puissance est donnée par : où on a employé la relation : . On peut ainsi considérer le travail spécifique (l’énergie transmise par unité de masse) entre le rotor et le fluide selon l’expression suivante : Pour les machines hydrauliques, on exprime généralement l’énergie par unité de poids, , plutôt que par unité de masse . Dans ce cas, la puissance par unité de poids a la dimension d’une distance et on la note par le symbole , que l’on appelle la charge et elle devient : Une deuxième forme de l’équation d’Euler peut être trouvée à partir de la relation trigonométrique : Alors, les équations d’Euler (10) et (11) deviennent respectivement : Ces deux équations montrent que le transfert d’énergie peut être répartie de différentes manières. Le premier terme indique la variation d’énergie cinétique dans l’écoulement, le deuxième, la variation d’énergie due aux forces centrifuges et le troisième la variation d’énergie due aux vitesses relatives . 5. EQUATION DE CONSERVATION D’ENERGIE Pour un volume de contrôle et en négligeant les effets dissipatifs, ce principe s’écrit : @rtS Cours de Turbomachines / Dr. SANYA S. Arthur O. - @rtS 5 où : taux de transfert de chaleur au volume de contrôle ; taux de travail extrait du volume de contrôle ; énergie totale par unité de masse ; source d’énergie par unité de masse. L’énergie totale par unité de masse est définie par avec l’énergie interne, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle. Dans l’étude des turbomachines, on utilisera habituellement les hypothèses suivantes :  Ecoulement permanent :  Ecoulement unidimensionnel :  Taux de transfert de chaleur faible en des termes relatifs, c-à-d .  Aucun type de source : Alors l’équation d’énergie devient : De plus, dans une turbomachine à gaz ou à vapeur, on peut considérer que la variation de l’énergie potentielle est négligeable par rapport aux autres formes d’énergie (cinétique, de pression et interne). Ainsi, - et l’équation de l’énergie prend la forme répandue : avec enthalpie du fluide et l’enthalpie totale ou de stagnation. Fianlement, si on confronte cette équation par unité de masse avec l’équation (10), on trouve la relation suivante utilisée pour les turbines à gaz et à vapeur (la convention de signe pour le travail est l’opposé) : @rtS Cours de Turbomachines / Dr. SANYA S. Arthur O. - @rtS 6 L’équation (18) qui est valable pour un écoulement adiabatique et en l’absence de termes sources, peut s’écrire comme suit : En général, on a : Le terme est appelé rothalpie . A partir de cette dernière équation, on peut définir l’enthalpie de stagnation relative par : L’équation d’énergie dans le système relatif est donc : Pour un écoulement axial avec une faible variation du rayon (quasi-cylindrique), la variation de l’énergie cinétique produite par la vitesse périphérique ( ) peut être considérée nulle. Alors l’équation d’énergie dans le système relatif a la même forme que celle dans le système absolu. 6. EXERCICES D’APPLICATION 6.1. Exercice 1 En utilisant l’équation d’Euler, déterminer le moment couple autour de l’axe de la pompe hydraulique mixte illustrée sur le Figure 3 et ayant les caractéristiques suivantes :  Vitesse absolue du fluide à l’entrée du rotor ;  Angle d’entrée du fluide dans le rotor par rapport à la direction axiale ;  Vitesse absolue du fluide à la sortie du rotor ;  Angle de sortie du fluide du rotor par rapport à la direction axiale ;  Débit total ;  Rayon d’entrée du rotor varie de à ; @rtS Cours de Turbomachines / Dr. SANYA S. Arthur O. - @rtS 7  Rayon à la sortie du rotor varie de à Figure 3 : Pompe hydraulique mixte. 6.2. Exercice 2 Un étage d’une turbine à vapeur axiale illustré à la Figure 4 reçoit de vapeur saturée et les stators dirigent l’écoulement vers les rotors avec un angle de par rapport à la direction axiale à une vitesse absolue de . La vitesse tangentielle de l’écoulement à la sortie du rotor est nulle, le diamètre moyen est de et l’arbre tourne . a) Quelle est la puissance produite par cet étage ? b) Quelle est la différence d’enthalpie dans cet étage ? Figure 4 : Turbine à vapeur axiale. @rtS Cours de Turbomachines / Dr. SANYA S. Arthur O. - @rtS 8 Solution 1 Solution 2 uploads/Industriel/ ch2-dyn-fluides-amp-turbom.pdf