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1 1 MECANIQUE QUANTIQUE MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 4 : Chapitre 4 : Formalism

1 1 MECANIQUE QUANTIQUE MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 4 : Chapitre 4 : Formalisme math Formalisme mathé ématique de matique de la m la mé écanique quantique canique quantique Pr. M. ABD Pr. M. ABD- -LEFDIL LEFDIL Universit Université é Mohammed V Mohammed V- - Agdal Agdal Facult Faculté é des Sciences des Sciences D Dé épartement de Physique partement de Physique Ann Anné ée universitaire 06 e universitaire 06- -07 07 Fili Filiè ères SM res SM- -SMI SMI 2 2 Introduction Introduction L L’ ’objectif de ce chapitre: objectif de ce chapitre: Donner une vue d'ensemble des outils math Donner une vue d'ensemble des outils mathé ématiques de matiques de base utilis base utilisé és en m s en mé écanique quantique. canique quantique. Regrouper les diverses notions utiles en m Regrouper les diverses notions utiles en mé écanique canique quantique en insistant particuli quantique en insistant particuliè èrement sur la commodit rement sur la commodité é des des notations de Dirac. notations de Dirac. Conna Connaî ître les notions utiles sur l'espace des fonctions tre les notions utiles sur l'espace des fonctions d'onde, d'onde, Comprendre le concept d' Comprendre le concept d'é état d'un syst tat d'un systè ème physique et me physique et l'espace des l'espace des é états du syst tats du systè ème, me, Savoir utiliser les notations de Dirac et faire des Savoir utiliser les notations de Dirac et faire des manipulations sur les kets, les bras et les op manipulations sur les kets, les bras et les opé érateurs. rateurs. 3 3 dxdydz r d 3 = 1 r d ) t , r ( espace 3 2 = ψ ∫∫∫ → I I- - Espace de fonctions Espace de fonctions d d’ ’ondes L ondes L2 2 représente la probabilité pour que, à l'instant t, la particule soit trouvée dans le volume autour du point r. r d ) t , r ( 3 2 ∫∫∫ → ψ L'interprétation probabiliste de la fonction d'onde ψ(x,t) d'une particule a été donnée au chapitre 2. Ainsi, on étudiera l’ensemble des fonctions de carré sommable pour lesquelles l’intégrale ci-dessus converge. la probabilité totale de trouver la particule dans tout l'espace étant égale à 1, on doit avoir : 4 4 - Étant donné la signification attribuée à la densité de probabilité, les fonctions d'onde effectivement utilisées possèdent certaines propriétés de régularité: - Des fonctions partout définies, continues, et même indéfiniment dérivables (par exemple, affirmer qu'une fonction est vraiment discontinue en un point donné de l'espace n'a aucun sens physique). - Des fonctions d'onde à support borné (on est sûr que la particule se trouve dans une région finie de l'espace). 5 5 1 1- - D Dé éfinition de L finition de L2 2 : : L L2 2 est l'espace des est l'espace des fonctions de carr fonctions de carré és s sommables sommables (int (inté égrables). grables). finie est r d ) t , r ( ) t , r ( ) t , r ( C , 3 2 3 ∫∫∫ → → → + ψ ψ → → ℜ ℜ 2 2- - Caract Caracté éristiques de L ristiques de L2 2 : : L L2 2 a une structure d a une structure d’ ’espace vectoriel sur le corps espace vectoriel sur le corps des nombres complexes des nombres complexes 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 L : alors , C ) , ( L et L : Si ∈ ψ λ + ψ λ = ψ ∈ λ λ ∈ ψ ∈ ψ ∗ ∗ ∗ ∗ ψ ψ λ λ + ψ ψ λ λ + ψ λ + ψ λ ⇔ ∈ ψ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 L 6 6 Les 2 derniers termes ont la mê Les 2 derniers termes ont la même me amplitude. amplitude. On peut les majorer par . On peut les majorer par . ψ ψ est alors est alors une fonction dont l'int une fonction dont l'inté égrale converge, grale converge, puisque puisque ψ ψ1 1 et et ψ ψ2 2 sont de carr sont de carré é sommable. sommable. ∗ ∗ ∗ ∗ ψ ψ λ λ + ψ ψ λ λ 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 1 2 1 ψ + ψ λ λ 7 7 3 3- - Produit scalaire dans L Produit scalaire dans L2 2 : : ( ) r d t) , r ( t) , r ( , L et L 3 2 1 2 1 2 2 2 1 → → ∗ ∫∫∫ ψ ψ = ψ ψ ∈ ψ ∈ ψ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ormée n est : 1 , es orthogonal sont et : 0 , , , ( ) , , 0 alors 0 , Si . 0 , , , i i i 2 1 1 2 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 3 2 2 1 1 1 2 2 1 ψ = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ ψ ψ λ λ + ψ ψ λ λ = ψ λ + ψ λ ψ λ = ψ = ψ ψ > ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ∗ ∗ ∗ Propriétés du produit scalaire: L L2 2 muni du produit scalaire d muni du produit scalaire dé éfini comme ci fini comme ci- -dessus a dessus a une structure d'espace d'Hilbert. une structure d'espace d'Hilbert. A tout couple de 2 A tout couple de 2 fonctions fonctions ψ ψ1 1 et et ψ ψ2 2 pris pris dans cet ordre, on dans cet ordre, on associe un nombre associe un nombre complexe, not complexe, noté é (ψ1,ψ2): : 8 8 II II- - Op Opé érateurs lin rateurs liné éaires: aires: Un op Un opé érateur lin rateur liné éaire A est, par d aire A est, par dé éfinition, un être finition, un être math mathé ématique qui, matique qui, à à toute fonction toute fonction ψ ψ appartenant appartenant à à L L2 2, fait , fait correspondre une autre fonction de L correspondre une autre fonction de L2 2 not noté ée e ϕ ϕ, la , la correspondance correspondance é étant lin tant liné éaire aire : : L et L avec t) , r ( t) , r ( A 2 2 ∈ ϕ ∈ ψ ϕ = ψ → → ) A ( ) A ( ) ( A 2 2 1 1 2 2 1 1 ψ λ + ψ λ = ψ λ + ψ λ On a aussi: On a aussi: Exemples: Exemples: ) z , y , x ( ) z , y , x ( − − − ψ = πψ 2 2- - Op Opé érateur multiplication par rateur multiplication par x, que nous désignerons par X: ) z , y , x ( x ) z , y , x ( X ψ = ψ 3 3- - Op Opé érateur d rateur dé érivation par rivation par rapport à x: x ) z , y , x ( ) z , y , x ( Dx ∂ ψ ∂ = ψ 1 1- - Op Opé érateur parit rateur parité é A= A=π π: : 9 9 Des opérateurs comme X et Dx, agissant sur une fonction ψ de L2, peuvent la transformer en une fonction qui n'est plus nécessairement de carré sommable. Produit d Produit d’ ’op opé érateurs: rateurs: Soient deux opérateurs linéaires A et B. leur produit AB Est défini par: t) , r ( A t)) , r ( B ( A t) , r ( AB → → → ϕ = ψ = ψ On fait d'abord agir B sur ψ, ce qui nous donne une fonction ϕ, ensuite A sur la fonction ϕ. En général: t)) , r ( BA t) , r ( AB → → ψ ≠ ψ On définit le commutateur [A,B] par: [A,B]=AB - BA Exemple: Exemple: [ ] [ ] h h h h h i 1 x i D , X i x , X i x i , X P X, x x = − = =       ∂ ∂ =       ∂ ∂ = 10 10 III- Bases orthonormées complètes de L2 Suivant les cas, on aura à utiliser soit une base à indice discret, soit une base à indice continu. a) Cas d'une base discrète : Soit Ui(x) un ensemble de fonctions appartenant à L2 où i = 1,2,…n. n peut être fini ou infini. i) L'ensemble des Ui(x) est dit orthonormé si : ( ) ij j i j i dx ) x ( u uploads/Industriel/ chapitre-4-formalisme-mathe-matique-de-la-me-canique-quantique.pdf