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N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MA

N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE INTÉGRATION Chapitre 6 123 Réimpression inchangée de l’édition originale de 1959 © Hermann, Paris, 1959 © N. Bourbaki, 1981 © N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 ISBN-10 3-540-35319-4 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-35319-5 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: WMXDesign GmbH, Heidelberg Imprim´ e sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 - PRÉFACE À L A SECONDE ÉDITION Les principales modifications apportées au texte du chapitre V portent sur les points suivants. L'intégrale supérieure essentielle possédant, à bien des égards, des propriétés plus satisfaisantes que l'intégrale supérieure ordinaire (voir surtout la prop. 11 du 5 l), le paragraphe qui lui est consacré a été développé. De même, on a traité avec plus de détail la théorie des familles sommables de mesures positives ( 5 2). La notion de diffusion a été introduite au paragraphe 3 ; celle de famille y-adéquate de mesures positives a été légèrement généralisée, de manière à permettre la composition des diffusions. Les mesures complexes ont été traitées de manière plus systématique; cela n'a exigé la plupart du temps que des change- ments mineurs, sauf au paragraphe 5, où l'on a dû abandonner partiellement le point de vue des espaces de Riesz. Enfin, diverses démonstrations ont été modifiées, pour permettre l'extension ultérieure des resultats au cas des espaces séparés non nécessairement localement compacts, qui seront traités au chapitre IX. Nancago, automne 1965 N. Bourbaki L I V R E V I INTÉGRATION CHAPITRE V I INTÉGRATION VECTORIELLE Dans ce chapitre, s i F désigne u n espace vectoriel localement convexe séparé (sur R o u C ) , o n note F' son dual, F" son bidual, FI* le dual algébrique de F' (espace de toutes les formes linéaires sur F r ) ; F" est un sous-espace vectoriel de FI*, et F s'identifie ( e n tant qu'espace vectoriel sans topologie) à un sous-espace vectoriel de F". O n désigne par F, l'espace vectoriel F m u n i de la topologie afaiblie a(F, F r ) ; les qualificatifs c faible ) > et G faiblement >> se rapportent ci cette topologie. Dans ce chapitce, T désigne un espace localement compact, &(T) o u ili(T) (resp. JCc(T)) l'espace vectoriel des fonctions réelles (resp. complexes) sur T, continues et à support compact ; pour toute partie A de T , X ( T , A) (resp. &(T, A)) désigne le sous-espace de X(T) (resp. &(T)) formé des fonctions dont le support est contenu dans A. Sauf mention expresse d u contraire, l'espace X ( T ) (resp. &(T)) sera muni de la topologie limite inductive des topologies de la convergence uniforme sur chacun des sous-espaces X(T, K ) (resp. &(T, K)), K parcourant l'ensemble des parties compactes de T. Rappelons que cette topologie est plus fine que la topologie de la convergence uniforme, et par suite est séparée ; elle induit sur chacun des JC(T, K ) (resp. &(T, K ) ) la topologie de la conver- gence uniforme ( E s p . aect. top., chap. I I , s 2, no 4, Remarque 3). L'espace &(T) s'identifie à l'espace obtenu à partir dé X ( T ) par extension des scalaires de R à C. Dire qu'une forme linéaire sur X(T) est une mesure revient à dire qu'elle est continue ( E s p . oect. top., chap. I I , 5 2, no 4). 1 Intégration des fonctions vectorielles Dans ce paragraphe, p désigne une mesure positive sur T et E' ilil espace vectoriel localement convexe séparé sur R. Pour toute application f de T dans F, et tout élément z' du dual F' tlc F, / 1 on désignera par (f. z') ou , z , f j la fonction numérique z' o f sur 7'. Nous dirons que f possède scalairement une propriété P si, p u r tout z' E F', (z', f i possède la propriété P. Par exemple, on dira que f est sculairer?ieizt essentiellement p.-intégrable si, pour tuiit Z' E F', / z', f ) est esseritiellerrient p-intégrable. On notera que dans cette définition, la topologie de F n'in- tervient que par l'intermédiaire du dual F' de F. Si une fonc- tion f possède scalairement la propriété P, elle possède encore scalairement la propriété P quand on remplace la topologie de F par toute topologie localement convexe séparée compatible avec la dualité entre E' et Fr. 1 . fionctions scalairenzent essentiellement intégvnbles . Si f est une application scalairernent essentieIlenlent p.-inté- =rable de T dans F, l'application z' -> 'f(t), z', d : ~ ( t ) est uni: J' forme linéaire sur F i , c'est-à-dirc un élément du diial algP- hrique FI*. DÉFINISIOK 1. - On appelle intégrale dc f par rapport à p. / 2') /'fdp) - /' : z', f ) d . pour tout z' E F'. Si f est continue à support compact, elle est scalairement inté- grable et la déf. 1 coïncide aïec la définition de l'intégrale de f donnée au chap. III, 5 4, no 1. D'autre part, si F est un espace de Banach et si f est essentiellement intégrable (chap. V, $ 2, no 2, déf. 2), alors f est scalairement essentielleniciit intégrable et la déf'. 1 coiricide avec la dkfinition de l'intégrale de f donnée au chap. V, 5 2, no 2 (chap. V, 5 2, no 2, prop. ( ; et chap. IV, $ 4, no 2, cor. 1 du th. 1). Exemple. - Soient X un espace localement compact, t - i,, une application de T dans l'espace X ( X ) des mesures sur X. Dire que la famille t -t i . ~ est ;*-adéquate (chap. V, § 3, no 1, déf. 1) signifie qu'elle est formée de mesures positives et que l'application t -+ At est scalairement essentiellement [*-intégrable et p-mesurable pour la topologie ~ ( 3 i ( X ) , X(X)). Son intégrale par rapport à p. est la mesure qui a été notée AB;*(t) au chap. V, $ 3, no 4. ci- Remarques. -- l) Si F est de dimension finie, toute applica- tion scalairement essentiellement intégrable de T dans F est essentiellement intégrable (cliap. V, $ 2, no 2). Par contre, dans le cas gknéral, une fonction scalairement négligeable sur un espace T compact peut ne pas même être :*-mesurahle (exerc. 12). 2) Il est clair que l'intégrale de f ne dépend que de la classe de f modulo l'espace des applications de T dans F qui sont scalaire- ment localement ;*-négligeables. On notera qu'une fonction g sca- lairement localement négligeable n'est pas nécessairement nulle localement presque partout (exerc. 12). Toutefois, il en est bien ainsi lorsqu'il existe dans F' une suite ( 2 ; ) partout dense pour la topologie u(F1, F) : en effet, si H, est l'ensemble localenlent négli- geable des points t E T tels que ( g ( t ) , 2 ; ) # O, la réunion H des H, est localement négligeable, et pour tout t $ Hl on a (g(t), 2 ; ) = O pour tout n, d'où g(t) = 0. Soit u une application linéaire continue de F dans un espace localement convexe séparé G ; sa transposée 'LL est une application linéaire de Gr dans F', et la transposée (algébrique) '('u) est une application linéaire de Fr* dans Gr* qui prolonge u, et que nous noterons encore u. Avec cette convention : PROPOSITION 1. - Si f est une application de T dans F, sca- lairement essentiellement p.-intégrable, l'application u 0 f est scalaire- ment essentiellement p-intégrable et on a En effet, pour tout z' E G', on a (z', u of) = / t ~ ( ~ ' ) , f/., d'oii la première assertion ; la seconde résulte de la formule z', [(u f)dp) = [' z', a 0 f ) dp = (lu(z'), ,/ fdp j == ( z', u (ffdp)} En particulier si f est scalairement essentiellement p-inté- grable elle reste scalairement essentiellement p-intégrable lors- qu'on remplace la topologie de F par une topologie moins fine. PROPOSITION 2. - Soit f une application scalairement essen- tiellement p-intégrable de T dans F. Pour toute fonction nu- mérique g > 0, ;*-mesurable et bornée, l'application t + g(t)f(t) (notée gf ou fg) de T dans F est scalairement essentiellement p-inté- grable, f uploads/Industriel/ n-bourbaki-elements-de-mathematique-integration-6-chapitre-6-2009-springer.pdf