Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 22 Séance 2. Cinématique

Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 22 Séance 2. Cinématique A. Définitions La cinématique est une description mathématique du mouvement, et consiste à ajouter la variable temporelle à la géométrie. Dans le cadre de la MMC, on s’intéresse à la cinématique d’un système matériel. Ceci appelle plusieurs définition emboîtées les unes dans les autres. Un système matériel est un ensemble de particules matérielles. La notion de particule matérielle est importante, et ne doit pas être confondue avec celle de particule élémentaire, plus apparentée à la physique fondamentale. Une particule matérielle représente la quantité de matière contenue dans un volume infinitésimal. Ce volume doit néanmoins être suffisamment grand pour que l’hypothèse de continuité de la matière soit vérifiée. Par conséquent l’échelle de taille de la particule matérielle dépend énormément du matériau. Mathématiquement, une particule matérielle sera représentée par un point de l’espace, que l’on appellera « point matériel ». Un système matériel est donc mathématiquement un ensemble de points matériels. On peut donc dire qu’un système matériel ε est modélisé par une sous-partie de ℝ , et qu’il est composé d’un ensemble (une infinité) de points M représentant chacun une particule matérielle. Au sein d’un système matériel ε , on peut définir un domaine matériel D , qui correspond à une sous- partie de ε composé des mêmes particules matérielles quelque soit l’instant t . Dans un domaine matériel, aucune matière ne rentre ni ne sort, ce qui n’empêche pas ce domaine lui-même d’être en mouvement. On se doit également de définir la notion classique de référentiel, que l’on peut tout simplement qualifier d’ « observateur ». La classe particulière des référentiels galiléens est la plus utile mais n’est pas aisée à définir. Rigoureusement, est qualifié de galiléen n’importe quel référentiel dans lequel est vérifié le principe fondamental de la dynamique (qui sera introduit bien plus tard dans le cours). On ne peut donc pas le définir pour l’instant, et on se contentera de préciser que le référentiel terrestre est supposé suffisamment galiléen pour les applications courantes, et que tout référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport au référentiel terrestre sera donc lui aussi considéré comme galiléen. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 23 Un système ε et dit en équilibre par rapport à un référentiel si et seulement si tous les point matériels de ε sont immobiles dans ce référentiel. Dans le cas contraire, ε est dit « en mouvement ». En conséquence, on ne peut parler de mouvement que par rapport à un référentiel lié à l’observateur du mouvement. Il est important de ne pas confondre les notions de repères et de référentiel. On peut changer de repère au sein d’un référentiel, et ceci ne modifiera pas la nature du mouvement, contrairement au changement de référentiel. B. Points de vue de Lagrange et d’Euler Deux points de vue coexistent pacifiquement lorsqu’il s’agit de décrire un mouvement. On appelle ces points de vue les descriptions lagrangienne et eulérienne du mouvement. La première est plus adaptée à la mécanique du solide, et la deuxième à la mécanique des fluides, mais cette distinction n’est pas du figée. En réalité, chacune de ces descriptions propose des outils qui simplifieront plus ou moins la définition et la résolution d’un problème en fonction d’un contexte donné. Il est important de comprendre les deux. Dans ce chapitre, on considère un repère R muni d’un centre O et d’une base orthonormée  =  ,  ,   . 1. Description lagrangienne du mouvement Cette description consiste à suivre une particule matérielle (représentée par un point M ) dans son mouvement, à partir d’une position d’origine. Il s’agit d’une position connue de la particule pour un temps fixé par convention à 0 0 = t , et on appellera cette position G . Cette position d’origine peut être comparée à la position « actuelle » de cette même particule, c'est-à-dire la position qu’elle occupe à l’instant t . Cette position sera notée R > . Le mouvement de la particule sera défini mathématiquement par une fonction bijective notée a  qui décrit la position actuelle de la particule en fonction de sa position d’origine et de l’instant t : R  = a &G , >' (2.1) On notera que, par définition, on a : a &G , 0' = G  (2.2) Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 24 On suppose que la fonction a  est deux fois continûment dérivable (sauf dans certains cas qui dépassent le cadre de ce cours), de manière à pouvoir calculer des vitesses et des accélérations. La plupart du temps, pour alléger les notations, on n’utilisera pas la fonction χ mais directement son résultat, et on écrira : R  = R &G , >' (2.3) Dans cette description, la position d’origine G  d’une particule est comme une « étiquette », c'est-à-dire qu’elle suffit à la définir entièrement. On comprend donc que la position actuelle R  de la particule peut se définir uniquement en fonction de G  (sa carte d’identité) et de l’instant actuel t . Souvent, on omettra même de mentionner t , car on ne comparera que la configuration initiale et la configuration actuelle. Avant d’aller plus loin, il est utile de définir un objet mathématique qui aura une grande utilité par la suite, le jacobien. Cet objet est en fait le déterminant de la matrice 3 3× dite « jacobienne », de terme général j i X x ∂ ∂ . Le jacobien J se calcule donc par : b = c c TR TG TR TG TR TG TR TG TR TG TR TG TR TG TR TG TR TG c c (2.4) Le jacobien est toujours positif. Il a également un sens physique très marqué. En effet, les éléments de volume élémentaires =V = =R=R =R (dans la configuration actuelle) et =Vd = =G=G =G (dans la configuration initiale) sont liés par l’expression : =V = b=Vd (2.5) C’est la formule classique de changement de variable dans une intégrale de volume. On dit aussi que le jacobien représente la dilatation volumique =V =Vd ⁄ au voisinage de la particule M entre l’instant initial et l’instant actuel. Dans la description lagrangienne, on est en mesure de définir rigoureusement la notion de vitesse d’une particule M : il s’agit de la dérivée du vecteur position R , pour G  fixé (c'est-à-dire en suivant une particule donnée, identifiée par son « étiquette » G ) : &G , >' = ETR  T>f g  &G , >' (2.6) Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 25 Dans cette expression, Ehi  hjk g  désigne la dérivée partielle par rapport au temps, les variables 1 X , 2 X , et 3 X étant fixées. De la même manière l’accélération de la particule M à l’instant t est définie par le vecteur : l &G , >' = ET R  T> f g  &G , >' = ET  T> f g  &G , >' (2.7) La description lagrangienne est bien adaptée à la mécanique du solide, parce qu’elle permet de comparer deux états (un état initial et un état final). Ce genre de démarche se prête bien à l’étude d’un système avant et après mise en charge. C’est beaucoup moins facile dans le cas d’un fluide, qui n’a pas une position bien définie à un quelconque instant passé. On a alors recours à la description eulérienne. 2. Description eulérienne du mouvement Le point de vue d’Euler est radicalement différent de celui de Lagrange. On ne considère plus d’instant initial, et on n’essaie même plus de suivre une particule matérielle dans son mouvement. On aurait en effet du mal, en regardant par exemple le mouvement d’une rivière dans son lit, à définir un instant initial pour lequel les positions de toutes les particules matérielles sont parfaitement connues. Par ailleurs, les particules ont tendance à se déplacer beaucoup et il sera difficile de les suivre (contrairement au cas d’un solide, pour lequel les déplacements de particules restent limités). On décide donc de se fixer un instant t (l’instant actuel), et une position donnée R  qui restera fixe. La description du mouvement d’un système du point de vue d’Euler consistera alors à définir le champ de vitesse  des particules occupant une position donnée à un instant donné :  = R , > (2.8) Comme on le voit, il n’est nullement fait mention ici d’une configuration initiale. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 26 3. Relations entre les deux descriptions Si on récapitule, on peut écrire que : -Les variables de Lagrange d’un point M sont les coordonnées de la position initiale et l’instant actuel ( 1 X , 2 X , 3 X , et t ), et les inconnues de Lagrange sont les coordonnées de la position actuelle ( 1 x , 2 x , et 3 x ). -Les variables d’Euler d’un point M sont les coordonnées de la position actuelle uploads/Industriel/ cinematique-mc-grenoble.pdf

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