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Lycée Secondaire 7 Novembre Devoir de synthèse N°° °3 Prof : Mr M. Chahed Class

Lycée Secondaire 7 Novembre Devoir de synthèse N°° °3 Prof : Mr M. Chahed Classe : 4ème Math Année scolaire : 2003/2004 Exercice N° 1 : ( 5 pts) Une boite A contient 4 boules portant les nombres 1 , 0 , 2 , 2 − − . Une deuxième boite B contient 4 boules portant les nombres 0 , 1 , 1 , 2 − . Toutes les boules sont indiscernables au toucher. 1) On tire de chaque boite une boule et on note X l'aléa numérique égale au produit des nombres marqués sur les deux boules obtenues. a- Déterminer la loi de probabilité de X . b- Calculer son espérance mathématique ainsi que son écart type. c- Montrer que 4 3 ) 0 ( =  x P 2) n étant un entier 2  . On répète l'épreuve précédente n fois de suite dans les mêmes conditions. On note Y l'aléa numérique égale au nombre de fois donnant un produit strictement positif. a- Donner la loi de probabilité de Y . b- Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois un produit 0  . c- déterminer n pour que cette probabilité soit 9 , 0  . 3) On choisit une boite au hasard et on tire une boule; quelle est la probabilité qu'elle porte le nombre 1. Exercice 2: ( 5 pts) Soit ) (C un cercle de centre O et   B A un diamètre de ce cercle. On considère une parabole variable P tangente à ) ( B A en A et dont la directrice  passe par B . 1) a- Montrer que le foyer F de P appartient à   B A C , \ ) ( . b- Le foyer F étant donné, on note H le symétrique de F par rapport à ) ( B A . Déterminer la directrice  de P . 2) On note T la tangente ) (C en B et M le point d'intersection de ) ( F A et T . Montrer que M est un point de P . 3) Soit  la parabole de même foyer F que P et de directrice ) ( B A . On désigne par I le milieu de   M B . a- Montrer que ) ( I O est la tangente à  en I . b- Montrer que P et  ont une seule tangente commune que l'on déterminera. Problème: (10 points)  Partie A A tout entier naturel n , on associe la fonction numérique d'une variable réelle n f définie sur E par : x x n n e e x f − − + =1 ) ( . 1) a- Etudier les variations de la fonction n f et les branches infinies de sa courbe représentative ) ( n C . On fera un tableau de variation pour chacune des cas 1 , 0 = = n n et 2  n . b- Démontrer que lorsque n décrit E , les courbes ) ( n C passent par un point fixe  que l'on déterminera. 2) a- Montrer que ) ( 0 C admet un point d'inflexion I dont on déterminera les coordonnées. b- Donner une équation de la tangente à ) ( 0 C au point I. c- Montrer que le point I est un centre de symétrie de ) ( 0 C . d- Construire ) ( 0 C dans un repère orthonormé ) , , ( j i O (unité 2cm). 3) a- Comparer pour tout réel ) ( , 1 x f x et ) ( 0 x f − . b- En déduire que = ) ( 1 C ) ( 0 ) , ( C S j O . Tracer ) ( 1 C dans le même repère que ) ( 0 C .  Partie B Soit ) ( n U la suite définie sur E par :  = 1 0 ) ( dx x f U n n . 1) Montrer que pour tout n de 2 1 0 ,   n U E (On pourra utiliser les variations de n f ). 2) Montrer que la suite ) ( n U est convergente. 3) a- Calculer 0 1 U U + et 1 U . b- En déduire 0 U . c- En déduire l'aire en ² m c du domaine du plan limité par ) ( 0 C et les droites d'équations 1 ; 0 = = x x et 2 1 = y . d- En déduire l'aire en ² m c du domaine du plan limité par ) ( 0 C ; ) ( 1 C et les droites d'équations 1 ; 0 = = x x . 1) Sans Calculer n U , démontrer que : Pour tout entier 1 1 2 1 1 − − = +  − − n e U U n n n n . 2) En déduire : a- La valeur de 2 U . b- La limite de la suite ) ( n V définie par 1 − + = n n n U U V . c- La limite de la suite ) ( n U .  Partie C Soit g la fonction définie par : ) 1 ).( ( ) ( ) ( 0 1 + − − = x x f x f x g et F la fonction définie sur    + ; 1 par :  = Logx dt t g x F 2 0 ) ( ) ( . 1) a- Vérifier que pour 1 ) ( , 1 + = −  x e x g x x . b- Justifier l'existence de ) ( x F pour tout    +  ; 1 x . c- Montrer que F est dérivable sur   + ; 1 et calculer ) ( ' x F . d- En déduire que pour tout x de    + =  + x dt Logt t x F 1 2 1 2 ) ( , ; 1 . 2) a- Montrer que R I t  , et t e t + 1 . En déduire que  + = + → ) ( lim x F x . b- Montrer que   ) ( , ; 2 x F x  +    +  x 2 2Logt 1 2t x dt . c- En utilisant le théorème de la moyenne , montrer que    +   ; 2 x il existe   x x c , 2  tel que : Logc x c x F 2 1 . ) ( + = . e- En déduire que    +   ; 2 x , ) 2 1 ( 2 ) ( Logx x x x F +  , puis calculer lim x→+ x x F ) ( . f- Dresser le tableau de variation de F . Donner l'allure de la courbe représentative ) ( de F dans un repère orthonormé ) , , ( v u O   uploads/Industriel/ bac-blanc-2003.pdf