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Universit´ e Ibn Zohr, An´ ee universitaire 2014-15 Facult´ e des Sciences d’Ag

Universit´ e Ibn Zohr, An´ ee universitaire 2014-15 Facult´ e des Sciences d’Agadir D´ epartement de Math´ ematiques Corig´ e du devoir libre de la s´ erie 1 Pr. M. Saadoune 1. Compl´ ements du cours sur le produit fini d’espaces topologiques Soit (Ei, Ti) une famille ﬁnie d’espaces topologiques, E := ∏i=p i=1 le produit cart´ esien des Ei, T la topologie produit sur E (=topologie initiale associ´ ee aux projections pri : E →Ei (i = 1, 2, ..., p); c’est-` a-dire la topologie la moins ﬁne rendant les pri continues). • Un ouvert ´ el´ ementaire de E est un ensemble de la forme: O1 × O2 × ... × Op, o` u Oi ∈Ti. • L’ensemble des ouverts ´ el´ ementaires constitue une base de la topologie produit. • Soit x = (x1, x2, ..., xp) ∈E. Les ensembles de la forme V1 × V2 × ... × Vp, o` u Vi est un voisinage de xi dans Ei, constituent un s.f.d.v. de x dans E. • Si les Ei sont tous s´ epar´ es, l’espace produit E l’est aussi. • Si les Ei sont tous m´ etrisables, l’espace produit E l’est aussi. • Soit X un espace topologique. Une application f : X →E est continue si, et seulement si, chaque application projection fi = pri ◦f est continue de X dans Ei; (f(x) = ( f1(x), f2(x), ..., fp(x) ) , x ∈E). • Une suite (xn) := (x1 n, x2 n, ..., xp n) dans E converge vers un point x := (x1, x2, ..., xp) ∈ E si, et seulement si, chaque suite (xi n) converge dans Ei vers xi. • Th´ eor` eme de Tychonoﬀ: L’espace topologique produit (E, T ) est compact si, et seulement si, chaque (Ei, Ti) est compact. 2. corrig´ e du devoir libre Corrig´ e de l’exercice 9: Soient E un espace m´ etrique compact et f : E →E une application expansive, i.e. d(x, y) ≤d(f(x), f(y)) pour tout x, y ∈E. On se propose de montrer que f est forc´ ement une isom´ etrie. 1) Soient x, y ∈E, xn := f n(x), yn := f n(y) pour chaque n ∈N (f n := f ◦f ◦...◦f n-fois). (a) L’espace E × E ´ etant m´ etrique compact (d’apr` es le th´ eor` eme de Tychonoﬀ), ( (xn, yn) ) admet une sous-suite ( (xnk, ynk) ) convergente, ou, d’une fa¸ con ´ equivalente, les suites (xnk) et ( ynk) sont convergentes, donc de Cauchy. 1 2 (b) Soit ε > 0. D’apr` es (a), on peut trouver un entier k tel que d(xnk, xnℓ) ≤ε et d(ynk, ynℓ)) ≤ε pour tout ℓ> k. Posons p := nl −nk avec ℓ> k; f ´ etant expansive, on a d(x, xp) ≤d(f nk(x), f nk(xp)) = d(f nk(x), f nℓ(x)) = d(xnk, xnℓ) ≤ε, et de mˆ eme d(y, yp) ≤ε. (c) On a d(f(x), f(y)) ≤d(f p(x), f p(y)) = d(xp, yp) ≤d(xp, x) + d(x, y) + d(y, yp) ≤2ε + d(x, y); ε ´ etant arbitraire, d(f(x), f(y)) ≤d(x, y), d’o` u d(f(x), f(y)) = d(x, y). 2) Tout d’abord, notons que, d’apr` es (a), f est continue; par cons´ equent, comme E est compact (par hypoth` ese), f(E) est compact, a fortiori ferm´ e. Maintenant, soit x ∈E et soit p un entier non nul tel que d(x, xp) ≤ε. Comme xp ∈f(E), d(x, f(E)) ≤ε; ε ´ etant arbitraire, x ∈f(E) = f(E), d’o` u E ⊂f(E), par suite f(E) = E (car f prend ses valeurs dans E). Corrig´ e de l’exercice 10: Soient E un espace m´ etrique compact et f : E →E une application contractive et surjective, i.e. d(f(x), f(y)) ≤d(x, y) pour tout x, y ∈E; f(E) = E 1) f ´ etant surjective, ` a tout ´ elment x ∈E correspond un ant´ ec´ edant yx ∈E tel que f(yx) = x; posons g(x) := yx. Alors, il est clair que f ◦g = IdE. De plus, f ´ etant contractive, on voit que d(x, y) = d(f(g(x)), f(g(y)) ≤d(g(x), g(y)), donc g est expansive. 2) D’apr` es l’exercice 9, g est une isom´ etrie de E sur E; donc f = g−1 est l’isom´ etrie inverse (l’inverse d’une isom´ etrie est une isom´ etrie). uploads/Industriel/ corrige-devoir-libre-serie-1.pdf