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Epreuve écrite : MATHEMATIQUES Crédit : Durée : 3 Heures PARTIE A : ANALYSE (8

Epreuve écrite : MATHEMATIQUES Crédit : Durée : 3 Heures PARTIE A : ANALYSE (8 points) Exercice 1 : (03pts) On considère la fonction numérique à deux variables définie par : ( ) ,( ) - 1. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de cette fonction. On a : ( ) ( ) ( ) 2. Déterminer les points critiques de la fonction Soit à résoudre le système : ( ) { ( ) ( ) Tenant compte de la contrainte ( ) entraine L’équation ( ) a pour solution . Les points critiques de sont : ( ) ( ) 3. Déterminer la nature de ces points critiques. On a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cependant au point ( ) nous avons : ( ) ( ) ( ) D’où le déterminant de la matrice Hessienne au point A est | | ( ) d’où le point ( ) est un minimum local. Au point ( ), nous avons : ( ) ( ) ( ) D’où le déterminant de la matrice Hessienne au point B est | | d’où le point ( ) est un point col ou point selle. Exercice 2 : (05pts) 1) L’objectif de cette question est de résoudre à l’aide de la transformée de Laplace l’équation différentielle. (E) : avec ( ) ( ) a. A partir de la définition, calculer les transformées de Laplace des fonctions ( ) et ( ) ( ) où a est un scalaire On a : * ( )+( ) ∫ ( ) 0 ( ) 1 ∫ or 0 ( ) 1 ( ) ∫ , - D’où * ( )+( ) D’autre part : * ( )+( ) ∫ ∫ ( ) 0 ( ) 1 D’où * ( )+( ) b. Ecrire sous forme exponentielle ( ) ( ) et en déduire sa transformée de Laplace de ( ) ( ) On a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Par suite : * ( ) ( )+( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) [ { ( ) }( ) { ( ) }( )] En prenant d’une part et d’autre part , on obtient : * ( ) ( )+( ) . ( ) ( )/ . / ( ) c. En calculant la transformation de Laplace de ( ) et en notant la transformée de Laplace de , montrer que ( ) On a : 2 3 ( ) * +( ) d’après la linéarité : * +( ) * +( ) * +( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) d. En déduire la solution de ( ) On a : ( ) ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) D’où ( ) ( ) ( ) PARTIE B : ALGEBRE (6points) I. Soit l’espace vectoriel muni de sa base canonique ( ). l’endomorphisme de défini par : ( ) ( ) ( ) 1. La matrice A de dans la base canonique est : ( ) 2. L’image du vecteur par est : ( ) ( ) ( ) ( ) 3. On a ( ) dont l’endomorphisme n’est pas injectif et par conséquent n’est pas bijectif. 4. On admet que tout vecteur a pour image par le vecteur avec { Déterminons le noyau (Kerf) et l’image (Imf) de - Noyau de Par définition : * ⃗ ( ) ⃗ + ⃗ ⃗ ( ) 4 5 ( ) { ⃗ { d’où est une droite vectorielle dirigée par le vecteur ( ). - Image de Par définition : * ( ) ⃗ ( ) ⃗ + ⃗ ⃗ ( ) 4 5 ( ) { d’où est un plan vectoriel dirigé par les vecteurs ( ) ( ) II. On donne les vecteurs ( ) ( ) ( ) 1. Montrons que ( ) est une base de On a : det ( ⃗ , , ⃗ ⃗ ) = | | = -9 ≠ 0 d’où B’ est une base de 2. On pose ( ) a. La matrice P est inversible car son déterminant est non nul. On a : ( ) = ( ) b. Déterminons les coordonnées du vecteur ( ) dans la base ( ) On a : ( ) ( ) ( ) D’où . / c. Calculons la matrice On a : ( ) ( ) ( ) ( ) PARTIE C : PROBABILITES ET STATISTIQUES (6points) I. STATISTIQUES 1) Calculons : a) La moyenne de chaque série marginale On a : ̅ ( ) La puissance moyenne X en chevaux est 61,5. On a : ̅ ( ) La cylindrée moyenne est b) Calculons la variance de chaque série marginale On a : ( ) ( ) ( ) ( ) D’autre part : ( ) ( ) ( ) ( ) c) Calculons ( ) On a : ( ) (∑ ) ̅ ̅ 2) Déterminer la droite de régression de On a : ̅ ( ) ( ) ( ̅) ( ) Ainsi la droite de régression de est : 3) Donner une estimation au cheval près de la puissance d’un moteur de cylindrée 3200 Pour on a : Une estimation de la puissance d’un moteur de cylindrée 3200 est : II. PROBABILITES On étudie la production d’une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets. 1. Calcul de la probabilité, arrondie au centième, de l’évènement « la masse du sachet est comprise entre 170 et180 grammes». Ici ( ) . Sachant que : ( ) ; calculons ( ) Pour cela, posons il vient que : ( ). On établit alors que ( ) . / . Cependant ( ) . / . / 2. . Sur un échantillon aléatoire de 50 bonbons issus de la machine A, calculons la probabilité, arrondie au centième, qu’au moins 2 bonbons soient déformés. Ici ( ) La probabilité d’avoir est ( ) Ainsi ( ) ( ) , ( ) ( )- 3. Dans un test de contrôle, on prélève au hasard un bonbon dans l’ensemble de la production. Celui-ci est déformé. Calculons la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit produit par la machine B. Il découle de la formule des probabilités totale que/ ( ) . / ( ) . / ( ) . / ( ) uploads/Industriel/ corrige-epreuve-maths-2.pdf