Décombres d'une première S – Une petite histoire du produit scalaire...dans le
Décombres d'une première S – Une petite histoire du produit scalaire...dans le plan - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais Page 1 sur 4 Il était une fois...le produit scalaire Si les vecteurs peuvent être additionnés entre eux ou multipliés par un réel, il n'a pas encore été défini ce que pouvait être le produit de deux vecteurs. Celui-ci n'est pas un vecteur mais un nombre. De par la nature de son résultat, on le nomme produit scalaire. Le produit scalaire est à l'origine une notion physique : le produit linéaire. Cet outil fut élaboré par le physicien prussien Hermann Grassman (1809-1877) et le physicien américain Josiah Gibbs (1839-1903). Mais c'est le mathématicien irlandais William Hamilton (1805-1865) qui en donna une première définition mathématique en 1853. Définition du produit scalaire de deux vecteurs Le produit scalaire des vecteurs u et v est le réel noté ⋅ u v et défini par : 2 2 2 1 2 ⋅ = × + − − u v u v u v Le produit scalaire peut être défini de plusieurs manières. Au fur et à mesure du document, nous établirons ses autres visages. La notation du produit scalaire à l'aide d'un point est due au physicien Josiah Gibbs. Elle apparut dans les années 1880. Calculons le produit scalaire AB AD ⋅ dans la situation ci-contre où ABCD est un parallélogramme tel que : AB 5 = AD 3 = AC 4 = 2 2 2 D'après la règle du parallélogramme... 2 2 2 ...on a AB AD AC 1 AB AD AB AD AB AD 2 1 AC AB AD 2 1 AC 2 + = ⋅ = × + − − = × − − = × [ ] 2 2 2 1 AB AD 16 25 9 9 2 − − = × − − = − Propriété : le produit scalaire est une opération commutative. C'est-à-dire : ⋅ = ⋅ u v v u En effet, on a : 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ⋅ = × + − − = × + − − = ⋅ u v u v u v v u v u v u A présent, intéressons-nous à certains produits scalaires particuliers : 1. Un produit scalaire avec le vecteur nul Pour tout vecteur u du plan, nous avons : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 ⋅ = × + − − = × − − = × = u o u o u o u u Conclusion : un produit scalaire avec le vecteur nul est nul. 2. Le carré d'un scalaire d'un vecteur (son produit scalaire par lui-même) Pour tout vecteur u du plan, nous avons : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2. 2 2 2 1 1 1 2 2 4 2 2 2 2 = ⋅ = × + − − = × −× = × × −× = × × −× = u u u u u u u u u u u u u 2 × 2 2 × = u u Conclusion : le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme. Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux Dire que deux vecteurs u et v sont orthogonaux signifie que leurs directions sont perpendiculaires. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tous les autres vecteurs. Le théorème de Pythagore établit une équivalence entre : 2 2 2 Le triangle ABC est rectangle en A AB AC BC ⇔ + = Lorsque le point A est confondu avec B ou C, l'égalité 2 2 2 AB AC BC + = est toujours vraie. On considère alors que le triangle ABC est aussi rectangle. Car alors le vecteur nul AB est orthogonal au vecteur éventuellement nul AC . Soient u et v deux vecteurs du plan orthogonaux entre eux. A étant un point fixé, on définit alors les points B et C par : AB = −u AC = v La situation est celle ci-contre Calculons le produit scalaire des vecteurs u et v . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 BC BA AC 2 2 1 1 BC AB AC 0 0 2 2 ⋅ = × + − − = × − − = × − − = × = u v u v u v Ainsi le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est-il nul. Et du fait l'équivalence du théorème de Pythagore, la réciproque est aussi vraie : la nullité entraîne l'orthogonalité. Théorème sur le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux Deux vecteurs et sont orthogonaux Leur produit scalaire est nul ⇔ ⋅ u v u v L'unité d'un produit scalaire Si les distances AB, AC et AD sont exprimées en centimètres, alors les carrés de celles-ci sont des centimètres carrés. Il en va alors de même pour leur produit scalaire. Cela dit, le plus souvent, il est exprimé sans unité. A B C D 5 3 4 A B C u v Décombres d'une première S – Une petite histoire du produit scalaire...dans le plan - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais Page 2 sur 4 Le produit scalaire dans un repère orthonormée Supposons le plan muni d'un repère orthonormé ( ) O; , i j . Il est possible de calculer la norme de tout vecteur u à partir de ses coordonnées ( ) x;y . Celle-ci est donnée par : 2 2 2 2 2 x y soit x y = + = + u u Pour tous vecteurs x y u et x y ′ ′ v , le vecteur + u v a pour coordonnées x x y y ′ + ′ + . Nous pouvons alors écrire : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . x x y y x y x y 2 2 1 x 2.x.x x y 2.y.y y x y x y 2 1 1 2 x.x 2 y.y 2 x.x ' y.y' x.x ' y.y' 2 2 ′ ′ ′ ′ ⋅ = × + − − = + + + − + − + ′ ′ ′ ′ ′ ′ = × + + + + + − − − − ′ ′ = × × + × = × × + = + u v u v u v Théorème : expression du produit scalaire dans un repère orthonormé Si dans un repère orthonormé quelconque du plan, les vecteurs u et v ont pour coordonnées respectives x y et x y ′ ′ , alors leur produit scalaire est donné par : x x x.x y.y y y ′ ′ ′ ⋅ = ⋅ = + ′ u v Mais la valeur du produit scalaire de deux vecteurs reste indépendante de la base choisie. En combinant les deux équivalences qui viennent d'être établies, on aboutit à un test sur des coordonnées permettant de dire si deux vecteurs sont orthogonaux au pas. En effet : x x et sont orthogonaux 0 x x y y 0 y uploads/Industriel/ dpsproscall.pdf
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- Publié le Jui 14, 2022
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