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1 Département de Génie Mécanique 3ème année licence maintenance industrielle Fi

1 Département de Génie Mécanique 3ème année licence maintenance industrielle Fiabilité des Systèmes – TD N°3 Le 17-03-2014 Exercice N°1 L’examen des fiches historiques d’un type de pièce monté sur 5 systèmes complexes identiques et travaillant dans des conditions semblables a donné les durées de service suivantes : Durées relatives aux défaillances en heures : 3910 5280 4200 2500 6430 5570 3390 1290 4720 7500 5010 2180 3650 4420 3100 5970 2810 1790 7500 8750 Durées relatives aux retraits en heures : 3760 2620 6910 5280 Nous pensons, que la loi de distribution est une loi de Weibull, car nous disposons d’un matériel similaire fonctionnant à peu près dans les mêmes conditions dont la distribution est de type Weibull 1) Vérifier que la loi de distribution est bien une loi de Weibull et déterminer son MTBF. 2) Faire un test d’ajustement de Kolmogorov-Smirnov au sein de α = 5%. 3) Quelle est la signification des valeurs des paramètres , et α β γ pour ces systèmes. 4) Calculer et tracer la fiabilité R(di) et le taux d’avarie λ(di). Exercice N°2 Les temps de service (en heure) d’un type de pièce sont les suivants. - Défaillances : 1350 ; 1500 ; 1700 ; 1950 ; 2300 ; 2800 ; 3400 ; 4000 ; 4900 ; 5800 ; 6700 ; 8200 ; 12000 ; 18000 ; 35000. - Retraits : 6800, 3300, 9400. Nous pensons, que la loi de distribution est une loi de Weibull, car nous disposons d’un matériel similaire fonctionnant à peu près dans les mêmes conditions dont la distribution est de type Weibull 1. Vérifier que la loi de distribution est bien une loi de Weibull et déterminer son MTBF. 2. Quelle est la signification des valeurs des paramètres , et α β γ pour ces systèmes. 3. Calculer et tracer la fiabilité R(di) et le taux d’avarie λ(di). 2 • Solution de l’exercice 1 : Détermination des valeurs expérimentales et théoriques (tableau 1). Tableau 1 : Calcul des données expérimentales. ti di, ri Rang brut Rang corrigé i F(d ) i R(d ) i i F(d ) 1 R(d ) = − i i F(d ) F(d ) − ߣሺ݀௜ሻ. 10ିସ 1290 d1 1 1 0,04 0,962 0,038 0,002 0,634 1790 d2 2 2 0,08 0,920 0,080 0 0,978 2180 d3 3 3 0,12 0,880 0,12 0 1,248 2500 d4 4 4 0,16 0,837 0,16 0 1,500 2620 r1 5 -- -- -- -- -- -- 2810 d5 6 5,05 0,202 0,794 0,206 0,04 1,738 3100 d6 7 6,1 0,244 0,748 0,251 0,011 1,976 3390 d7 8 7,15 0,286 0,701 0,299 0,019 2,220 3650 d8 9 8,2 0,328 0,663 0,336 0,016 2,410 3760 r2 10 -- -- -- -- -- -- 3910 d9 11 9,32 0,372 0,610 0,389 0,019 2,674 4200 d10 12 10,44 0,417 0,562 0,437 0,017 2,917 4420 d11 13 11,56 0,462 0,515 0,484 0,024 3,156 4720 d12 14 12,78 0,511 0,468 0,531 0,021 3,408 5010 d13 15 13,80 0,552 0,417 0,582 0,022 3,694 5280 d14 16 14,92 0,596 0,367 0,63 0,02 3,985 5280 r3 17 -- -- -- -- -- -- 5570 d15 18 16,18 0,647 0,321 0,678 0,128 4,281 5970 d16 19 17,44 0,697 0,270 0,730 0,030 4,642 6430 d17 20 18,70 0,748 0,213 0,786 0,086 5,092 6910 r4 21 -- -- -- -- -- -- 7500 d18 22 20,28 -- -- -- -- -- 7500 d19 23 21,86 0,874 0,116 0,884 0,014 6,150 8750 d20 24 23,44 0,937 0,042 0,957 0,017 7,624 On trouve les résultats suivants (fig. 1) : • γ = 0 ; β = 2,3 ; η = 5400 ; Le modèle théorique est : 2,3 t 5400 R(t) e ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ; • MTBF = 1 1 0 x 5400 0,8859 4784 h. ⎛ ⎞ γ + η Γ + = + η = × = ⎜ ⎟ β ⎝ ⎠ • 1 1,3 t 2,3 t (t) 5400 5400 β− ⎛ ⎞ β −λ ⎛ ⎞ λ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ η η ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; • D’autre part, D20, 5% = 0,294 ; donc le modèle expérimental est ajustée par le modèle théorique. • β > 1 : donc nous avons à faire à un matériel d’usure, le taux d’avarie est faiblement croissant au départ puis fortement par la suite (β = 2,3). 3 Figure 1 : Représentation graphique. Figure 2 : Allure de la probabilité de survie R(di). 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 V (t) Temps en H Échelle : 1/100 ߛൌ0 ߟൌ5400 ߚൌ2,3 di en heure R(di) 4 Figure 3 : Allure du taux d’avarie ( ) di λ . • Solution de l’exercice 2 : Détermination des valeurs expérimentales et théoriques (tableau 2). Tableau 2 : Calcul des données expérimentales. ti di, rk i j i F(d ) R(di) ߣሺ݀௜ሻ. 10ିସ 1350 d1 1 1 0,038 0.96 0,00049057 1500 d2 2 2 0,092 0,91 0,00032365 1700 d3 3 3 0,146 0,86 0,00026289 1950 d4 4 4 0,201 0,80 0,00022725 2300 d5 5 5 0,255 0,75 0,00019970 2800 d6 6 6 0,309 0,68 0,00017683 3300 r1 7 -- -- -- -- 3400 d7 8 7,08 0,368 0,62 0,00015985 4000 d8 9 8,16 0,427 0,56 0,00014824 4900 d9 10 9,24 0,485 0,49 0,00013598 5800 d10 11 10,32 0,544 0,44 0,00012718 6700 d11 12 11,40 0,603 0,39 0,00012041 6800 r2 13 -- -- -- -- 8200 d12 14 12,66 0,672 0,33 0,00011187 9400 r3 15 -- -- -- -- 12000 d13 16 14,24 0,757 0,22 0,000098079 18000 d14 17 15,83 0,844 0,13 0,000085817 35000 d15 18 17,41 0,929 0,03 0,000069518 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 Temps en heure di en heure λ (di) 5 On trouve les résultats suivants (fig. 4) : • γ = 1300 ; β = 0,7 ; η = 6000 ; Le modèle théorique est : 0,7 t 1300 6000 R(t) e − ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = . • 1 MTBF . 1 1300 .x 1300 6000 1,2608 8865h. ⎛ ⎞ =γ + ηΓ + = + η = + × = ⎜ ⎟ β ⎝ ⎠ • 1 0,3 t 0,7 t 1300 (t) 6000 6000 β− − ⎛ ⎞ β −λ − ⎛ ⎞ λ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ η η ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . • γ>0 : ce type de matériel ne tombera pas en panne entre 0 et 1300 h puisque il a une fiabilité égale à 1. • β< 1 : nous avons à faire à un matériel de jeunesse, le taux d’avarie est fortement décroissent au départ puis in deviendra constant par la suite (β = 0,7). • η : est le paramètre d’échelle (1/1000 dans ce cas). Figure 4 : Représentation graphique. ߛൌ1300 ߟൌ5400 ߚൌ0,7 Échelle : 1/1000 6 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 R(di) di en h Figure 5 : Allure de la probabilité de survie R(di). 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 λ(di) di en h Figure 6 : Allure du taux d’avarie ( ) di λ . uploads/Industriel/ corrige-td-3 1 .pdf