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ENFA - Bulletin du GRES n°6 – mars 1998 page 37 Contact : Conf PY-MATH@educagri

ENFA - Bulletin du GRES n°6 – mars 1998 page 37 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr EXERCICES CORRIGES : tests de χ² Exercice 1 : BTSA - Productions animales - Session 1993 (Troisième exercice sur 8 points) Un étalon gris hétérozygote accouplé à des juments non grises produira des poulains gris avec une probabilité de 0,25 d'après les lois de Mendel. Des juments non grises accouplées à cet étalon et ayant produit 5 poulains ont donné les résultats suivants : Nombre de poulains gris sur les 5 produits 0 1 2 3 et plus Nombre de juments 10 18 16 6 1. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de poulains gris par jument. Définir la loi de probabilité de X, sous l'hypothèse de Mendel. 2. A l'aide d'un test de χ² (au seuil de 5%), dire si les résultats observés permettent d'accepter l'hypothèse de Mendel. Proposition de corrigé : 1. Nous sommes dans le cas d'un schéma de Bernoulli (On suppose qu'il n'y a qu'un poulain par portée): - Pour chaque poulain il y a deux éventualités contraires : soit il est gris (avec une probabilité p = 0,25) soit il est non gris (avec une probabilité de 1 - p = 0,75) - Les couleurs des 5 poulains d'une jument sont indépendantes et ont été obtenues dans les mêmes conditions. Ces deux conditions nous permettent de dire que, sous l'hypothèse de Mendel, X est de loi binomiale B(5; 0,25). 2. Il s'agit ici d'un test d'ajustement : Posons l'hypothèse nulle H 0 : Les résultats sont conformes à la théorie. C'est-à-dire : H0 : La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(5; 0,25). ENFA - Bulletin du GRES n°6 – mars 1998 page 38 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr A l'aide de la formule ( ) P X k C k k k = = × × − 5 5 0 25 0 75 , , pour 0 5 ≤ ≤ k , nous allons calculer les probabilités puis les effectifs théoriques correspondant aux diverses valeurs de X : Nombre de poulains gris sur les 5 produits 0 1 2 3 ou plus Totaux effectifs observés (ni) 10 18 16 6 50 Probabilités (pi) 0,2373 0,3955 0,2637 0,1035 * 1 effectifs théoriques (npi) 11,87 19,78 13,18 5,17 * 50 ni - npi -1,87 -1,78 2,82 0,83 0 *valeurs calculées par différence La taille de l'échantillon est n = 50, c'est-à-dire l'effectif total. Variable de décision : Tous les effectifs théoriques étant supérieurs à 5, on peut dire que, sous l'hypothèse H0, la variable K N np np i i i 0 2 = − ∑ ( ) suit approximativement la loi de χ² à 4 1 3 −= degrés de liberté (ddl). Remarque : le N i en majuscule signifie qu'il s'agit ici d'une variable aléatoire mais une minuscule est tolérée. Calcul de la valeur de K0 pour l’échantillon prélevé : ( ) ( ) k n np np n n n k soit k i i i obs th th 0 2 2 0 2 2 2 2 0 187 1187 1 78 19 78 2 82 1318 0 83 517 119 = − = − ≈ + + + ≈ ∑ ∑ , , , , , , , , , . Décision : α = 5% Pour 3 ddl on lit dans la table : χ0 95 2 7 81 . , = (ce type de test est unilatéral). k0 est inférieur à cette valeur donc on ne rejette pas H0. Nous pouvons donc en conclure, au seuil de 5 %, que les résultats observés ne contredisent pas la théorie. ENFA - Bulletin du GRES n°6 – mars 1998 page 39 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr Exercice 2 : BTSA - Industries agro-alimentaires - Remplacement 1994 ( Quatrième exercice sur 5 points) Afin de comparer l'action de deux levures sur une pâte à gâteaux, on prélève, pour chacune des levures, un échantillon aléatoire de gâteaux. L'aptitude des pâtes à lever est définie par les critères suivants : moyenne, bonne, très bonne. Les résultats constatés sont rassemblés dans le tableau suivant : aptitude à lever levure moyenne bonne très bonne A 41 16 63 B 22 27 51 A l'aide d'un test de χ2, au risque de 5%, peut-on conclure à une différence d'activité des deux levures ? Proposition de corrigé : (Il y a de nombreuses notations possibles, celles choisies ci-dessous ne sont qu'un exemple.) Il s'agit ici d'un test de comparaison de deux distributions qui se ramène à un test d'indépendance. H0 : Il n'y a pas de différence d'activité entre ces deux levures. qui se traduit par : H0 : L'aptitude à lever de cette pâte à gâteau est indépendante du choix qui est fait entre les deux levures A et B. Nous allons donc établir le tableau de contingences : L'effectif théorique de la classe située à l'intersection de la i ième ligne et de la j ième colonne est donné par np n n n ij i j . . = × (où n i. est l'effectif total de la i ième ligne, n j . celui de la j ième colonne et n l'effectif total soit 220). Les effectifs théoriques notés sont en italiques : aptitude levure moyenne bonne très bonne total A 41 34.36 16 23.45 63 62.18 120 B 22 28.64 27 19.55 51 51.82 100 total 63 43 114 220 Variable de décision : Tous les effectifs théoriques sont supérieurs ou égaux à 5 donc, sous l’hypothèse H0, la variable aléatoire ENFA - Bulletin du GRES n°6 – mars 1998 page 40 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr K N np np ij ij ij j i 0 = − ∑ ∑ ( )² suit (approximativement) la loi de χ² à (3- 1)(2-1)=2 degrés de liberté. Calcul de la valeur de K0 pour l'échantillon prélevé : k k 0 0 41 34 36 34 36 16 2345 2345 63 6218 6218 22 28 64 28 64 27 19 55 19 55 5182 5182 8 05 = − + − + − + − + − + − ≈ ( . )² . ( . )² . ( . )² . ( . )² . ( . )² . (51 . )² . . ou k 0 41² 34 36 16² 2345 63² 6218 22² 28 64 27² 19 55 51² 5132 220 8 05 = + + + + + − ≈ . . . . . . . Décision : Pour α=5% et pour 2 ddl on lit dans la table de χ² : χ0 95 2 599 . . = . k0 est supérieur à cette valeur donc on rejette H0 au risque de 5%. En conclusion on peut dire, au risque de 5% et au vu de ces observations, qu'il y a une différence d'activité entre les deux levures A et B sur cette pâte à gâteaux. Remarque : la notation npij vient du fait que, sous l'hypothèse d'indépendance des deux caractères, . . p n n n n ij i j = × est une estimation du pourcentage d'individus de la population appartenant à la iième modalité du caractère "ligne" et à la jième modalité du caractère "colonne". uploads/Industriel/ 6-7-exercice 1 .pdf