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Niveau : L3_BIOSCIENCES Enseignant : Dr TIAN BI T. Yves-Nathan Laboratoire de G

Niveau : L3_BIOSCIENCES Enseignant : Dr TIAN BI T. Yves-Nathan Laboratoire de Génétique U.E. : BIOSTATISTIQUE ECUE : LOIS DE DISTRIBUTION TABLE DES MATIÈRES Page CHAPITRE I : NOTIONS DE VARIABLE ALEATOIRE ET DE PROBABILITE 1 I- Variable aléatoire 1 I-1 Variables aléatoires discrètes 1 I-2 Variables aléatoires continues 2 II- Probabilités 2 CHAPITRE II : LOIS DE DISTRIBUTION 4 I- Distributions de probabilités 4 I-1 Définition 4 I-2 Description de la loi de probabilité d’une variable aléatoire 4 II- Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète 4 III- Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue ou fonction densité de probabilité 5 IV- Fonction de répartition d’une variable aléatoire 6 IV-1 Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète 6 IV-2 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue 6 V- Espérance mathématique d’une variable aléatoire 6 V-1 Variables aléatoires discrètes 7 V-2 Variables aléatoires continues 7 VI- Variance et écart-type d’une variable aléatoire 7 VI-1 Variables aléatoires discrètes 8 VI-2 Variables aléatoires continues 8 VII- Lois de probabilité discrètes usuelles 8 VII-1 Loi binomiale et Loi binomiale 8 VII-2 Loi de Poisson P(μ) 8 VIII- Lois de probabilité continues usuelles 11 VIII-1 Loi normale ou Loi de Laplace–Gauss N (µ, σ) 11 VIII-2 Loi normale centrée et réduite N (0,1) 12 TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE ET REDUITE 15 CHAPITRE I : NOTIONS DE VARIABLE ALEATOIRE ET DE PROBABILITE I- Variable aléatoire I-1 Définition Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat d’une épreuve peut se traduire par une «grandeur» mathématique, très souvent représentée par un nombre entier ou un nombre réel (il sera ici surtout question des variables aléatoires réelles, les entiers faisant bien sûr partie des réels IR). La notion mathématique qui représente efficacement ce genre de situation concrète est celle de variable aléatoire. Les valeurs qui sont effectivement prises par une variable aléatoire à l’issue de la réalisation d’une épreuve donnée sont le seul fait du hasard. - On désigne les variables aléatoires par des lettres majuscules. Ex : X = taille des étudiants ; Y = poids du poisson péché. - On désigne les valeurs que prend effectivement la variable aléatoire à l’issue de la réalisation de l’épreuve (valeurs observées) par des lettres minuscules. Ex : x1 = 165 cm ; x2 = 175cm, etc. Exemples de variables aléatoires Si l’on considère la constitution d’une fratrie de deux enfants, l’espace fondamental est constitué des évènements élémentaires suivants : {GG, GF, FG, FF}. Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X : « nombres de filles dans la famille » sont {0, 1, 2}. De manière pratique, la variable aléatoire est donc le fait élémentaire sur lequel se porte l’attention du chercheur ou de l’investigateur. Le temps de désintégration d’un atome radioactif, le pourcentage de réponses «oui» à une question posée dans un sondage, le nombre d’enfants d’un couple, la taille des individus ou leur état de santé (infecté ou non) dans une population d’étudiants, le gain au lancer de pièce de monnaie sont autant d’autres exemples de variables aléatoires. Remarque Le terme de variable aléatoire peut parfois être trompeur, en effet, ce n'est pas la valeur qu'elle prend une fois que l'on connait le résultat de l'expérience ou de l’épreuve qui est aléatoire, mais la valeur qu'elle va prendre avant d'avoir effectué l'expérience. Par exemple, considérons une expérience de lancer de pièce de monnaie où suivant que le résultat est pile on gagne 5000 FCFA, ou face on perd 500 FCFA. On 1 considère alors X, la variable aléatoire qui prend la valeur 5000 lorsqu’on obtient pile et la valeur -500 lorsqu’on obtient face. X représente le gain à l'issue d'un lancer de la pièce. Dans cette expérience, une fois que l'on connait le résultat du "pile" ou "face" on connait la valeur de X, le gain, avec certitude et celle-ci ne dépend pas du hasard. Par contre, avant de jeter la pièce on ne sait pas quelle valeur va prendre X car on ne sait pas encore si l'on va obtenir pile ou face. I-2 Types de variables aléatoires I-2-1 Variables aléatoires discrètes Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs discontinues dans un intervalle donné (borné ou non borné). L’ensemble des nombres entiers est discret (Xi ϵ [0,I N ]). En règle générale, toutes les variables qui résultent d’un dénombrement ou d’une numération (variables qualitatives, non métriques) sont de type discret. Exemples : Les variables aléatoires, - le nombre de petits par porté pour une espèce animale donnée (chat, chien, etc.), - le nombre de bactéries dans 100 ml de préparation, - le nombre de mutations dans une séquence d’ADN de 10 kb, etc., sont des variables aléatoires discrètes. I-2-2 Variables aléatoires continues Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non). En règle générale, toutes les variables qui résultent d’une mesure (variables quantitatives, métriques) sont de type continu. Exemples : Les variables aléatoires, - la taille des individus pour une espèce animale donnée, - la masse corporelle des individus, - taux de glucose dans le sang, etc., sont des variables aléatoires continues. II- Probabilité Un des concepts fondamentaux de la statistique est celui de Probabilité. C’est une idée avec laquelle beaucoup d’entre nous sont familiers d’une manière générale, mais il est nécessaire de définir ce mot avec précision avant de pouvoir l’appliquer à l’analyse de données biologiques. Quand on parle de probabilité d’un événement, cela implique que les circonstances ne nous permettent pas de déterminer sa survenue régulière, en sorte que pour une occasion donnée l’événement peut ou non se produire : mais dans une série étendue 2 d’occasions, il se présentera dans une proportion caractéristique de cas. On peut exprimer cette proportion par un nombre. Mesure de la probabilité d’un événement (aléatoire) L’événement aléatoire est l’événement qui peut se produire ou non, dont la production ou la non production est déterminée par le hasard. L’opération qui conduit à l’apparition éventuelle de l’événement aléatoire est une épreuve. Soit n le nombre d’épreuves et k le nombre de réalisations (apparition) de l’événement aléatoire. La probabilité p d’un événement aléatoire E est : p (E)=nombre decas favorables nombrede cas possibles La probabilité est une donnée de départ. Cette donnée varie de 0 à 1 ou de 0 % à 100 %. Exemple : (i)- Lors d’un lancer de pièce de monnaie, celle-ci peut tomber pile ou au contraire face. Si la pièce est équilibrée, on ne sait pas laquelle des deux possibilités se présentera à un jet quelconque. Mais la pièce étant équilibrée, l’on s’attend à une probabilité de 1/2 pour pile et 1/2 pour face. (ii)- Dans la descendance de mariages entre [normal] Aa et [albinos] aa dans une population, l’on s’attend à 1/2 de [normal] et 1/2 de [albinos]. Remarque : - La probabilité d’un événement impossible (Événement qui ne se produit jamais) est nulle (égale à 0). La probabilité d’un événement certain (Evénement qui se produit toujours) est égale à 1. - La fréquence d’un événement (notée ¿ k n ) est le résultat observé à la fin d’une expérience. Ce résultat varie de 0 à 1 ou de 0 % à 100 %. Exemple : Au cours de l’année universitaire 2012-2013, 100 étudiants ont été déclarés admis à l’UE de Biostatistique sur un total de 170 étudiants ayant composé pour les 2 sessions ; soit une fréquence de 100/170 = 0,588. - Lorsque le nombre d’épreuves augmente indéfiniment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les probabilités et les distributions observées vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité ; c’est la loi des grands nombres. 3 CHAPITRE II : LOIS DE DISTRIBUTION I- Distributions de probabilité I-1 Définition Une distribution de probabilité également appelée loi de probabilité est une mesure, souvent vue comme la loi décrivant le comportement d'une variable aléatoire, discrète ou continue. L'étude d'une variable aléatoire suivant une loi de probabilité discrète fait apparaître des calculs de sommes et de séries, alors que si sa loi est absolument continue, l'étude de la variable aléatoire fait apparaître des calculs d'intégrales. I-2 Description de la loi de probabilité d’une variable aléatoire Soit une expérience aléatoire dont l’ensemble des résultats possibles contient n événement(s) élémentaire(s). Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire prenant les valeurs x1, x2, …, xn. La probabilité que X = x1 est notée p1 (on note également p1 = p(X = x1)) La probabilité que X = x2 est notée p2 (on note également p2 = p(X = x2)) ⁞ La probabilité que X = xn est notée pn (on note également pn = p(X = xn)) La loi de probabilité de la variable X est l’ensemble des couples (x 1 ; p1), (x2 ; p2), …, (xn ; pn). Une loi de probabilité n’est établie que si ∑ i Pi=1, la somme étant étendue à tous les indices i. II- Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète Dans le cas de la constitution uploads/Industriel/ cours-biostat-l3-biosciences.pdf