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Commande prédictive ENSPS 3A ISAV Master ISTI AR J. Gangloff Plan 1.Introductio

Commande prédictive ENSPS 3A ISAV Master ISTI AR J. Gangloff Plan 1.Introduction / Historique 2.Modélisation du système 3.Fonction de coût 4.Équations de prédiction 5.Commande optimale 6.Exemples 7.Réglage du GPC 8.Bibliographie 1. Introduction 1.1. Définition du « MPC » ●Model Predictive Control (MPC) : – Utilisation explicite d'un modèle pour prédire le comportement futur du système – Calcul d'une séquence d'échantillons futurs de commande minimisant une fonction de coût sur un horizon fuyant – Seul le premier échantillon de commande est réellement appliqué au système. Toute la séquence est recalculée à chaque pas. 1. Introduction 1.2. Principe du « MPC » [ rt1 ⋮ rtN2] + - Prédicteur [ yt1 ⋮ ytN2] Optimisation [ ut ⋮ utNu−1] utSystème yt N2 consignes futures N2 mesures futures N1 commandes futures 1. Introduction 1.2. Principe du « MPC » t tN1 tN2 y r Horizon fuyant Objectif de l'optimisation : minimiser la surface 1. Introduction 1.3. Déclinaisons du « MPC » ●DMC (Dynamic Matrix Control) – Utilise la réponse indicielle du système – Processus stable et sans intégrateur ●MAC (Model Algorithmic Control) – Utilise la réponse impulsionnelle ●PFC (Predictive Functional Control) – Utilise un modèle d'état du système – Peut s'appliquer aux systèmes non linéaires ●GPC (Generalized Predictive Control) – Utilise un modèle CARMA – Le plus répandu 1. Introduction 1.4. Avantages/inconvénient du « MPC » ●Avantages : – Concept simple, réglage intuitif et aisé – S'applique à tout type de systèmes, des plus simples aux plus complexes (systèmes instables, avec retards, non minimum de phase, très peu amortis, multivariables, non linéaires, variants) – Si la consigne est connue à l'avance, son caractère prédictif permet de l'anticiper et donc d'améliorer le suivi. – Numériquement stable ●Inconvénient : modélisation précise 2. Modélisation 2.1. Cas du MAC ●Modèle impulsionnel – La sortie est reliée à l'entrée par l'équation suivante : – On tronque aux N premiers échantillons : – Inconvénient : représentation non minimale yt=∑ i=1 ∞ hi ut−i  ytk∣t=∑ i=1 N hi utk−i∣t 2. Modélisation 2.2. Cas du GPC ●Modélisation CARMA (Controller Auto- Regressive Moving-Average) : ●Avec : ●On fait souvent : Aq -1yt=q -dBq -1ut−1Cq -1 Dq -1 et Aq-1=1a1q -1 a2q -2 anaq-na Bq-1=b0b1q -1 b2q -2 bnbq-nb Cq-1=1c1q -1 c2q -2 cncq-nc Dq -1=q -1=1−q -1 3. Fonction de coût J= ∑ j=N1 N2 [  ytj∣t−r tj] 2∑ j=1 Nu [utj−1] 2 Erreur quadratique Énergie de la commande Paramètres de réglage : N2 , Nu ,  4. Équations de prédiction ●Cas du GPC : – Première équation diophantienne : – Avec C=1 : – On a : C=EjAq -jF j 1=E jAq -jF j degEj= j−1 degF j=na [Ayt=Bq -dut−1et ]×Ejq j AEj ytj=E jButj−d−1E jetj 4. Équations de prédiction – On utilise l'équation diophantienne : – D'où on tire : – Meilleure prédiction : 1−q -jF jytj=EjButj−d−1E jetj ytj=Fj ytEjButj−d−1Ejetj  ytj∣t=E jButj−d−1F j yt 4. Équations de prédiction ●Séparation des commandes : – Deuxième équation diophantienne : – Équation de prédiction : E jB=G jq -jj  ytj∣t=G jutj−d−1jut−d−1F j yt Réponse forcée Réponse libre 5. Commande optimale ●Équation de prédiction : – Avec :  y=G  u f  y=[  yt1∣t ytN2∣t] T  u=[ut∣tutNu−1∣t] T  f=[ f t1∣t f tN2∣t] T G= [ g0 0 ⋯ 0 g1 g0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ gN2−1 gN2−2 ⋯ g0 ⋮ ⋮ ⋮ gN2−1 gN2−2 ⋯ gN2−Nu] Nu N2 Les g0 ... gN2-1 sont les échantillons de la réponse indicielle. 5. Commande optimale ●Fonction de coût : ●On a : ●Avec : J= y−r T  y−r u T  u  uopt qui annule dJ d  u :  uopt=G TGI -1 G Tr− f  r=[rt1rtN2] T consignes futures Seule la première valeur de la commande optimale est appliquée au système. 6. Exemples 6.1. Exemple simple ●Soit le système mis sous la forme CARIMA : ●On a : A=1−0.7q -1 B=0.9−0.6q -1 6. Exemples 6.1. Exemple simple ●Ce qui peut être mis sous la forme : G  f G TGI3 -1 G T= 0.8947 0.0929 0.0095 −0.8316 0.8091 0.0929 −0.0766 −0.8316 0.8947 6. Exemples 6.2. Résultats de simulation 6. Exemples 6.2. Résultats de simulation 7. Réglage du GPC ●Paramètre  : – Augmentation : ralentissement du système – Diminution : commande plus énergique donc accélération du système ●Paramètre N2 : – Doit être au moins aussi grand que le transitoire du système corrigé ●Paramètre N1 : – Doit être supérieur au retard du système ●Paramètre Nu : – Tend vers une réponse pile quand Nu ->0 8. Bibliographie ●R. Bitmead, M. Gevers et V. Wertz, « Adaptive Optimal control – The thinking man 's GPC », Prentice Hall International, 1990. ●E. F. Camacho et C. Bordons, « Model Predictive Control », Springer Verlag, 1999. ●J.-M. Dion et D. Popescu, « Commande optimale, conception optimisée des systèmes », Diderot, 1996. ●P. Boucher et D. Dumur, « La commande prédictive », Technip, 1996. uploads/Industriel/ cours-mpc-pdf.pdf