LICENCE DE PHYSIQUE : Parcours Physique et Applications UNIVERSITÉ PARIS-SUD OR

LICENCE DE PHYSIQUE : Parcours Physique et Applications UNIVERSITÉ PARIS-SUD ORSAY CALCUL TENSORIEL G. Abramovici septembre 2011 2 Table des matières I Algèbre 5 A Rappels d'algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Bases et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 B Cas d'une base non orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 Métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Bases réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Composantes covariantes et contravariantes d'un vecteur . . . . . 23 4 Composantes contravariantes et covariantes d'un tenseur . . . . . 24 5 Convention d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 C Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 Lois de transformation par changement de base . . . . . . . . . . 28 2 Application : orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . 31 D Tableaux récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 II Tenseurs 37 A Définitions des tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 Dé nition opératoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 Dé nition intrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 B Opération sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 C Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Autres symétries des tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 Réduction des tenseurs par symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3 Glossaire voir également certaines dé nitions dans les tableaux récapitulatifs R ensemble des nombres réels Rn espace des matrices colonnes à coe cients réels C ensemble des nombres complexes Cn espace des matrices colonnes à coe cients complexes B la base canonique B = identi cation entre quantité vectorielle (à gauche) et matricielle (à droite dans la base B) {0} espace vectoriel réduit au vecteur nul ∩ intersection d'espaces ⊕ addition d'espaces vectoriels (sans intersection) N ensemble des entiers naturels Z ensemble des entiers relatifs R∗ + ensemble des réels strictement positifs conjugaison complexe tA transposition matricielle (u.v) produit scalaire ou hermitien en notation classique ⟨u|v⟩ produit scalaire ou hermitien en notation de Dirac c u v angle entre les vecteurs u et v × produit vectoriel ⊗ produit tensoriel ∧ produit extérieur V volume (d'un trièdre) ou son aire (en dimension 2) I l'opérateur identité O l'opérateur nul A ◦B composition des opérateurs A et B AB produit matriciel des matrices A et B A† adjoint de l'opérateur A A† adjoint de la matrice A tr(A) trace de l'opérateur A tr(A) trace de la matrice A det(A) déterminant de l'opérateur A det(A) déterminant de la matrice A χ polynôme caractéristique A−1 inverse de l'opérateur A (au sens de la composition) A−1 inverse de la matrice A (au sens du produit matriciel) P + Q addition des opérateurs P et Q qui commutent 4 Chapitre I Algèbre A Rappels d'algèbre linéaire 1 Bases et vecteurs a Bases orthonormales Soit E un espace vectoriel sur R à trois dimensions, on notera B = (e1, e2, e3) ou encore B = (|e1⟩, |e2⟩, |e3⟩) une base orthonormale B, appelée base canonique. En représentation matricielle dans sa propre base B, on a |e1⟩B =   1 0 0   |e2⟩B =   0 1 0   |e3⟩B =   0 0 1  , on notera eiB les matrices colonne dans la base B. Ces vecteurs sont caractérisés par la propriété suivante : ei.ej ≡⟨ei|ej⟩= teiBejB =  0 i ̸= j 1 i = j  ≡δij où t désigne la transposition et le symbole de Kronecker δ permet une écriture formelle. On peut le véri er explicitement, par exemple : ⟨e1|e2⟩= ( 1 0 0 )   0 1 0  = 0 ⟨e3|e3⟩= ( 0 0 1 )   0 0 1  = 1 . b Composantes d'un vecteur Soit un vecteur |u⟩, on le représente dans la base B par la matrice colonne uB ≡   u1 u2 u3  . Les coe cients ui, pour i = 1, 2, 3, s'appellent les composantes de |u⟩, il seront toujours notés avec l'indice en haut et sont dé nis par |u⟩= 3 X i=1 ui|ei⟩B = uB . Dans une base orthogonale, on a ui = ⟨ei|u⟩. 5 Démonstration : ⟨ei|u⟩= ⟨ei|  X j uj|ej⟩  = X j uj ⟨ei|ej⟩ | {z } δij = ui . Exemple u2 = ( 0 1 0 )   u1 u2 u3  . c Bra et ket Dans la notation de Dirac, on représente un vecteur u par le ket |u⟩, qui corre- spond, matriciellement, à une matrice colonne. Kets et vecteurs sont donc totale- ment identi és. Par contre, un bra n'est pas un vecteur, car il correspond, matriciellement, à une matrice ligne. On peut faire une bijection parfaite entre bra et ket, car l'un est l'adjoint de l'autre. Matriciellement, l'adjoint A† d'une matrice A est dé nie comme la transposée et complexe conjuguée de A, A† = tA, où représente la conjugaison complexe. Finalement, on peut écrire |u⟩† = ⟨u|. On représente le bra ⟨u| dans la base B par une matrice ligne, selon ⟨u| B = u† B ≡   u1 u2 u3   † = ( u1 u2 u3 ) ; on remarquera qu'on note la matrice ligne par u† B sans introduire d'autre notation. d Forme linéaire On peut identi er un bra ⟨u| à une forme linéaire U, c'est-à-dire une application de E →R : en eet, à tout vecteur |x⟩∈E, |x⟩7→U|x⟩≡⟨u|x⟩∈R. Il faut savoir que la bijection ket↔bra que l'on a établie n'est pas valable en dimension in nie : à tout vecteur |u⟩est bien associé une forme linéaire ⟨u| ; par contre, la réciproque n'est pas vraie, l'espace des formes linéaires (noté E∗) est plus grand (en dimension in nie) que E. En dimension nie n, par contre, E∗et E sont de même dimension, une base de E∗étant constituée de uploads/Industriel/ cours-tenseurs-sept2011.pdf

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