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ELE110 1 COURS 1 (Eté2005) ©JM Lina COURS 1 Les Outils Mathématiques pour l’Éle

ELE110 1 COURS 1 (Eté2005) ©JM Lina COURS 1 Les Outils Mathématiques pour l’Électromagnétisme 1. INTRODUCTION Avec la mécanique et la thermodynamique, l’électromagnétisme constitue les bases scientifiques de la technologie moderne1. Ces trois disciplines ne sont pas complètement déconnectées : la mécanique portant sur le comportement (i.e. la dynamique) des objets soumis à des forces (condition d’équilibre mécanique, les contacts, les roulements,…), l’électromagnétisme est la science qui intervient lorsque ces interactions sont de nature électrique. Il faut évidement partir de l’observation (fondamentale et vieille de plus de 4000 ans!) que la matière possède des propriétés qui engendrent des interactions à distance qu’on ne saurait expliquer par leur simple masse. En fait, ces observations ont rapidement classé les différents types d’interactions que la matière manifestait : gravitationnelle (avec la masse), électromagnétique (avec la charge électrique), nucléaire (avec les ‘charges’ dites hadroniques…). On parle aujourd’hui des 3 grandes forces de la Nature … Aujourd’hui, l’électromagnétisme est sans aucun doute la théorie la plus élaborée. Elle est présente dans le comportement de la matière sur plusieurs ordres de grandeur en échelle : de l’atome (les électrons autour du noyau) à l’échelle de l’univers (le rayonnement électromagnétique fossile). Entre ces deux extrêmes, on trouve une multitude d’applications et de technologies dont le fonctionnement repose essentiellement sur l’existence (et la maîtrise) des propriétés électromagnétiques de la matière. Tous les dispositifs de communication (téléphones, radio, télévision, ordinateurs), la plupart des instruments de diagnostic en médecine (radiologie, stimulateur, scanner), les véhicules modernes, les équipements domestiques, le transport et le stockage de l’energie … sont autant d’exemples où les principes et les lois de l’électromagnétisme sont mis en œuvre. A l’instar des autres disciplines du génie, l’électromagnétisme a son ‘langage mathématique’. Ce langage doit d’abord être vu comme un outil qui permet de manipuler les principes de base et de calculer les quantités pratiques dans les réalisations technologiques. On ne peut faire ni l’économie ni même une approximation vague de ce langage : il est efficace et permet de comprendre et d’appliquer l’électromagnétisme. Quels sont les domaines des mathématiques à visiter pour ce cours ? - les vecteurs car nous aurons besoin de représenter des forces, des vitesses… - les repères et les systèmes de coordonnées car nous étudierons des ensembles d’objets qu’il faudra repérer les uns par rapport aux autres; - le calcul différentiel et intégrale car nous aurons des lois exprimées à de petites échelles qu’il faudra appliquer sur des systèmes plus grands. Dans ce premier document, on revoit des notions de mathématiques qui seront utilisées tout au long de ce cours. 1 On pourrait ajouter la théorie de l’information (et la mécanique quantique) à cette liste. ELE110 2 COURS 1 (Eté2005) ©JM Lina 2. VECTEURS ET CHAMP DE VECTEURS Un vecteur est une longueur (qu’on désigne par norme, module ou amplitude, il s’agit toujours d’un nombre positif) et une direction. On peut toujours écrire un vecteur a en identifiant ces deux quantités : a au = où u est un vecteur de norme 1 (vecteur dit unitaire) et a un nombre positif. Les vecteurs forment un espace vectoriel. On peut multiplier un vecteur par un nombre, u λ : on multiplie ainsi l’amplitude de u par λ . La direction change de signe si λ est négatif. On peut aussi additionner les vecteurs : c a b = + Notion de repère : on peut toujours trouver un nombre (minimal) de vecteurs dits linéairement indépendants qui servent de repère (on parle de base). Le choix d’un repère n’est pas unique. Dans un espace de dimension 2, la figure de gauche vous montre un choix de repère ( , ) i j qui permet d’exprimer le vecteur en termes de composantes (x,y) : a x i y j = + Notez que le vecteur a est unique. Par contre, un repère est choisi et donne lieu à une paire de composantes (x,y) pour écrire le vecteur a en fonction de ce choix : Vecteur colonne des composantes (en 2 dimensions) : x a a xi y j y  = ↔ = +   ELE110 3 COURS 1 (Eté2005) ©JM Lina Produit scalaire : produit défini sur deux vecteurs, cette opération donne un nombre réel. Notation habituelle : a b ⋅ . Notion de repère orthonormal: Repère pour lequel le produit scalaire est T a b a b ⋅ = où : ' ' ' ' x b x i y j b y   = + → =     [ ] T a x i y j a x y = + → = ' ' T a b a b x x y y ⇒ ⋅ = = + (1) On a 1, 0, 1 i i i j j j ⋅ = ⋅ = ⋅ = Norme, angle et produit scalaire : La norme d’un vecteur est donnée par 2 2 a a a x y = ⋅ = + (2) et le produit scalaire entre deux vecteurs peut s’écrire sous la forme cos a b ab θ ⋅ = (3) où a et b sont les normes des deux vecteurs et θ l’angle entre a et b . Un champ de vecteur : On parle d’un champ de vecteurs lorsque le vecteur est défini comme une fonction du point de l’espace : ( ) a P Le vecteur ‘vitesse’ dans un fluide en mouvement est un champ de vecteur : chaque ‘élément de fluide’ possède son vecteur vitesse à l’endroit où il se trouve. On ne peut faire des opérations entre des vecteurs d’un champ de vecteurs que si cette opération concerne des vecteurs en un même point. ELE110 4 COURS 1 (Eté2005) ©JM Lina NB : on peut bien sûr parler de ‘champs scalaires’ pour désigner les fonctions habituelles. Par exemple, la température dans la pièce où vous êtes est une fonction (un champ scalaire) définie en chaque point de son volume. 3. SYSTÈMES DE COORDONNÉES Cartésien en 2 d : Système associé aux axes orthogonaux habituels. Le point P est repéré par les coordonnées x et y. Ce sont aussi les composantes du vecteur OP si O est l’origine du système de coordonnées et ( , ) i j un repère orthonormal (associé aux axes) : OP xi y j = + Polaire en 2d : Système de coordonnées avec lequel on repère le point P avec un nombre positif ( ρ ) et un angle ( ϕ ) : 0 et 0 2 ρ ϕ π ≤ < ∞ ≤ < (4) On a les relations suivantes : cos sin x y ρ ϕ ρ ϕ =   =  et 2 2 tan x y y x ρ ϕ  = +   =   Cartésienne en 3d : Système associé aux axes orthogonaux habituels. Le point P est repéré par les coordonnées x, y et z. Ce sont aussi les composantes du vecteur OP si O est l’origine du système de coordonnées et ( , , ) i j k un repère orthonormal (associé aux axes) : OP xi y j z k = + + ELE110 5 COURS 1 (Eté2005) ©JM Lina Cylindrique (3d) : Système de coordonnées avec lequel on repère le point P avec un nombre positif ( ρ ), un angle ( ϕ ) et une coordonnée (z) : 0 , 0 2 et z ρ ϕ π ≤ < ∞ ≤ < −∞< < ∞ On a les relations suivantes : cos sin x y z z ρ ϕ ρ ϕ =   =  =  et 2 2 tan x y y x ρ ϕ  = +   =   (5) Sphérique (3d) : Système de coordonnées avec lequel on repère le point P avec un nombre positif ( r ) et deux angles ( ϕ et θ ) : 0 , 0 2 et 0 ρ ϕ π θ π ≤ < ∞ ≤ < ≤ < On a les relations suivantes : sin cos sin sin cos x r y r z r θ ϕ θ ϕ θ =   =  =  et 2 2 2 r x y z = + + (6) Le choix d’un système de coordonnées est toujours dicté par la symétrie du problème : le système cartésien (ou rectangulaire) est le plus général. La symétrie axiale (ou ponctuelle en 2d) en 3d suggère les coordonnées polaire (ou cylindrique) alors qu’une symétrie sphérique en 3d sera facilement gérée dans un système de coordonnées sphérique. 4. VARIATIONS INFINITÉSIMALES DE LA POSITION D’UN POINT Un point sur la ligne uploads/Industriel/ cours01.pdf