Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Ensembles Un ensemble est un objet mathématique représentant une collection d'o

Ensembles Un ensemble est un objet mathématique représentant une collection d'objets ou groupement d’objets, appelés éléments de l'ensemble. Ensembles déjà connus: ensembles de nombres (entiers, relatifs, réels, complexes). 1) NOTATIONS ET VOCABULAIRE A. Appartenance: Symbole d'appartenance ∈. On écrit: a ∈ A, lit «l'élément a appartient à l'ensemble A » Ou « a est un élément de l'ensemble A ». Pour indiquer qu'un élément a n'appartient pas à un ensemble A, on écrit a ∉ A. B. Cardinal: Card A ou |A|. Le cardinal (ou taille) d'un ensemble A: nombre d'éléments dans l'ensemble A. C. Représentations d’un ensemble: a) Graphique: Les éléments de l'ensemble sont placés dans une zone délimitée par une courbe fermée (ellipse sur l’exemple): Diagramme de Venn. b) En extension: tous les éléments que l’ensemble fini contient, sont énumérés entre accolades Exemple: A={a, b , c} . c) En compréhension: l’ensemble est défini à partir des éléments d'un autre ensemble E qui satisfont une certaine propriété P. Forme générale: , i.e. A={ x ∈ E/ P(x)} contient tous les éléments de E, qui vérifient la propriété P. Exemple : L’ensemble des diviseurs de 3 en extension est : D3  1,3 L’ensemble des diviseurs de 3 en compréhension est : D3 n IN / n/3} d) Autre notation: symbole pour les ensembles infinis en extension. Exemple: . A={0, 1,…..} e) Ensemble vide: noté , ensemble unique, ne contient aucun élément. f) Singleton: noté {a}, un ensemble qui ne contient qu’un seul élément. 2) COMPARAISON D’ENSEMBLES A. Égalité: Définition : On dit que deux ensembles A et B sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments ; on écrit A = B (A  B) ⟺ (x, x A  xB) Exemple: B. Inclusion; Sous-ensemble ou partie d’un ensemble Définition : Soient A et B deux ensembles quelconques. A est dit inclus dans B si tout élément de A est un élément de B. On dit aussi que A est un sous-ensemble de B ou encore que A est une partie de B . On note A ⊂ B (A ⊂ B) ⟺ (x∈ A ⇒ x ∈ B). Autre définition de l’égalité de deux ensembles A et B: A  B ssi A  B et B  A C. Ensemble des parties: P(.) Définition: L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté P(E), est un ensemble qui contient tous les parties (ou sous- ensembles) de E : P ( E ) = { X | X  E } et Card P (E) = 2Card E Exemple: A={a, b, c}, P(A)={{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c},  }. (Card P(A)= 2³ = 8) 3) OPERATIONS SUR LES ENSEMBLES Opérations sur des ensembles  un nouvel ensemble A. Intersection: Symbole  Définition: L'intersection de deux ensembles A et B, notée A B, est un ensemble contenant les éléments appartenant à A et à B : A  B = { x | x∈ A et x∈ B }. Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. ={c}. Définition: Deux ensembles A et B sont dits disjoints lorsque leur intersection est vide. On note : A B= . B. Union: Symbole Définition: L‘union de deux ensembles A et B est un ensemble contenant les éléments appartenant à A ou à B : A B = { x | x∈ A ou x∈ B }. Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. A B ={a, b, c, d, e}. . a .c .b . C. Complémentaire d’un ensemble Définition : Soit une partie de , le complémentaire de est l’ensemble constitué par tous les éléments de qui n’appartiennent pas à , on le note ou . = { ∈ / ∉ } Exemples :  ℝℚ = (ensembles des irrationnelles). D. Différence. Symbole \ Définition : Soient A et B deux parties d’un ensemble E; la différence de A et B est l’ensemble constitué par les éléments qui appartiennent à A et qui n’appartiennent pas à B. On le note par A\B ou A – B ; \ = { ∈ / ∈ ∉ } Propriétés ; E. La différence symétrique : Définition :A et B sont deux ensembles .La différence symétrique de et B est l’ensemble noté tel que E. Produit Cartésien: Symbole × Définition: Le produit cartésien de deux ensembles A et B, noté A×B, est l'ensemble des couples ordonnés (x,y) où x A et y B A × B = { (x,y) | x∈ A, y∈ B }. Si Card A= m et Card B=n, alors Card A × B=mn. Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. A×B= { (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (b,e) }. uploads/Industriel/ downloadfile-20.pdf