Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Modélisation numérique sous MATLAB Par Rafic YOUNES Enseignant - Chercheur à la

Modélisation numérique sous MATLAB Par Rafic YOUNES Enseignant - Chercheur à la Faculté de Génie – Université Libanaise Responsable du DEA Mécanique E2M R.Y. 02.04 1. Grandes lignes de la méthode des éléments finis 1.1 Exposé de la démarche 1.2 Un exemple détaillé 2. Utilisation du pdetool 3. Applications 3.1 Application 1 3.2 Application 2 3.3 Application 3 3.4 Application 4 3.5 Application 5 Quelle place occupe le calcul dans l'industrie ? Quels sont les principaux champs d'application du calcul ? Le calcul numérique permet à l'ingénieur d'effectuer des simulations numériques de phénomènes physiques. Le calcul occupe une place stratégique avec la CAO et les autres technologies de simulation (essais) dans le développement d'un produit complexe qui touche à différents domaines de la physique. Cela concerne les industries automobiles, navales, aéronautiques, ferroviaires, mais aussi les industries lourdes: centrales électriques, plates- formes pétrolières, et le génie civil. Le calcul est indispensable lorsque l'on cherche à obtenir une solution optimisée pour réduire les coûts et les délais de fabrication. Grâce au calcul, même simplifié, l'ingénieur peut tester plusieurs configurations pour optimiser le comportement d'un modèle à une prestation donnée. Cela évite de multiplier les prototypes et les essais tests réels, les supports physiques ne servent plus à chercher une solution, ils permettent de la valider. Le calcul s'applique aussi dans les domaines du « process ». Les procédés de fabrication tels que l'emboutissage, l'usinage grande vitesse, les dépôts de peinture, l'assemblage de tôlerie, la mise en forme des plastiques, peuvent être modélisés par éléments finis. Ici c'est une bonne représentation du comportement du phénomène physique qui sera recherchée pour pouvoir vérifier et valider un procédé de fabrication d'une pièce. Enfin le calcul de conception dans les bureaux d'études, c'est sans doute le plus répandu car grâce aux outils de calcul simplifié dont disposent les logiciels de CAO modernes, la simulation numérique fait partie des outils de conception pour obtenir un comportement défini à priori qui détermine le dimensionnement, donc le dessin, des pièces mécaniques. La méthode des éléments finis est de toutes les méthodes de discrétisation la plus utilisée car : A) elle peut traiter des problèmes de géométrie complexe. B) elle couvre de nombreux domaines de la physique. C) les moyens informatiques actuels (puissance des calculateurs, outils de visualisation) la rende facile de mise en oeuvre. D) de nombreux logiciels généraux ou dédiés sont disponibles sur le marché, le tableau ci-dessous vous permettra de visiter les sites Internet proposés par les principaux fournisseurs de logiciel éléments finis. Pdetool de MatLab, Abaqus, I-deas, Adina, Marc, Algor, Radioss, Ansys, Samcef, Catia, Systus L'objectif de ce cours est de vous donner les bases essentielles sur lesquelles repose la méthode des éléments finis. Ensuite sont présentés quelques applications utilisant le pdetool de MatLab. Beyrouth – 01/03/2005 1 Exposé de la démarche : La méthode consiste à rechercher une solution approchée de la solution exacte sous la forme d'un champ F(M,t) défini par morceaux sur des sous domaines de Ω. Les n sous domaines Ωi doivent être tels que où i ~ Ωdésigne l'intérieur de Ωi. Autrement dit, les Ωi sont une partition de . Les champs ) t , M ( f ~ , définis sur chaque sous domaines sont des champs choisis parmi une famille arbitraire de champs (généralement polynômiaux). La famille de champs locaux est appelée espace des fonctions d'interpolation de l'élément. La famille de champs globaux ) t , M ( F ~ , obtenus par juxtaposition des champs locaux est appelée espace des fonctions d'interpolation du domaine . Le champ dans chaque sous domaine Ωi est déterminé par un nombre fini de valeurs du champ (ou de valeurs de ses dérivées) en des points choisis arbitrairement dans le sous domaine, et appelés Q°uds. Le champ local est une interpolation entre les valeurs aux noeuds. Le sous domaine muni de son interpolation est appelé élément. Chercher une solution par éléments finis consiste donc à déterminer quel champ local on attribue à chaque sous domaine pour que le champ global ) t , M ( F ~ obtenu par juxtaposition de ces champs locaux soit proche de la solution du problème. Parmi les contraintes qu'on impose à la solution approchée cherchée, il y a souvent au moins une continuité simple (C0) à la frontière entre les sous domaines. La figure 1 montre une solution approchée discontinue d'un champ scalaire sur un domaine de dimension 1. La famille de champs locaux est la famille des champs constants par morceaux. Figure 1: Solution approchée discontinue La figure 2 montre une solution approchée continue C0 d'un champ scalaire sur un domaine de dimension 1. La famille de champs locaux est la famille des champs polynômiaux de degré 1. La figure 3 montre une solution approchée continue C1 d'un champ scalaire sur un domaine de dimension 1. La famille de champs locaux est la famille des champs polynômiaux de degré 3. Figure 2: Solution approchée continue C0 Figure 3: Solution approchée continue C1 La qualité de la solution approchée dépend de la division en sous domaines (nombre et dimensions des sous domaines), du choix de la famille de champs locaux dans chaque sous domaine, et des conditions de continuité qu'on impose aux frontières des sous domaines (C0, C1,...). Une fois ces choix faits, il reste à rechercher, une combinaison de champs locaux qui satisfait approximativement les équations. Pour résoudre un problème par la méthode des éléments finis, on procède donc par étapes successives : 1 - On se pose un problème physique sous la forme d'une équation différentielle ou aux dérivés partielles à satisfaire en tout point d'un domaine , avec des conditions aux limites sur le bord nécessaires et suffisantes pour que la solution soit unique. 2 - On construit une formulation intégrale du système différentiel à résoudre et de ses conditions aux limites: C'est la formulation variationnelle du problème. 3 3 - On divise en sous domaines : C'est le maillage. Les sous domaines sont appelés mailles. 4 - On choisit la famille de champs locaux, c'est à dire à la fois la position des noeuds dans les sous domaines et les polynômes (ou autres fonctions) qui définissent le champ local en fonction des valeurs aux noeuds (et éventuellement des dérivées). La maille complétée par ces informations est alors appelée élément. 5 - On ramène le problème à un problème discret : C'est la discrétisation. En effet, toute solution approchée est complètement déterminée par les valeurs aux noeuds des éléments. Il suffit donc de trouver les valeurs à attribuer aux noeuds pour décrire une solution approchée. Le problème fondamental de la méthode des éléments finis peut se résumer en deux questions : (a) Comment choisir le problème discret dont la solution est <<proche>> de la solution exacte? (b) Quelle signification donner au mot <<proche>> ? 6 - On résout le problème discret: C'est la résolution 7 - On peut alors construire la solution approchée à partir des valeurs trouvées aux noeuds et en déduire d'autres grandeurs : C'est le post-traitement. 8 - On visualise et on exploite la solution pour juger de sa qualité numérique et juger si elle satisfait les critères du cahier des charges : C'est l'exploitation des résultats. Les étapes 1, 2, 3, 4 et 5 sont souvent rassemblées sous le nom de prétraitement. Le travail de ces différentes étapes est assisté par les logiciels. Pour maîtriser leur utilisation, il est indispensable de comprendre les fondements de la méthode, notamment les phases 3 et 4, ne serait-ce que pour comprendre et choisir intelligemment parmi les options qu'ils proposent. 2 UN EXEMPLE DETAILLE : On se propose de rechercher une solution approchée du problème suivant : Trouver f(x) dans le domaine Ω= [0, 1] satisfaisant l'équation différentielle : avec les conditions aux frontières de : Dans ce problème, est un domaine de dimension 1 et le temps n'apparaît pas. Pour décrire le domaine, on n'a besoin que d'une seule variable x. L'équation à résoudre est donc une équation différentielle ordinaire. La frontière se réduit à deux points. La solution exacte de ce problème est Son graphe est donné figure 6 page 8. 2.1 Choix du maillage On divise arbitrairement en trois mailles de même taille (voir figure 4): Figure 4: Maillage du problème 2.2 Choix des noeuds et des champs locaux On décide de prendre des éléments à 3 noeuds, et pour la famille de champs locaux des polynômes de degré 2. Les noeuds sont choisis aux extrémités et au milieu de chaque maille. On peut alors déterminer chaque champ local en fonction des valeurs aux 3 noeuds. Remarquer que le fait d'avoir utilisé des noeuds aux extrémités de chaque élément présente deux avantages : 1 - Le nombre de noeuds est réduit, car il y a des noeuds communs à deux éléments. 2 - On assure ainsi une continuité C0 de la solution approchée : les champs locaux de deux éléments voisins auront la même valeur à leur n ud commun. Remarquer encore qu'il n'est pas nécessaire de prendre les éléments identiques uploads/Industriel/ modelisation-numerique-sous-matlab-pdf.pdf