Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Introduction aux Processus Stochastiques Plan du cours 1 Introduction: premiers

Introduction aux Processus Stochastiques Plan du cours 1 Introduction: premiers exemples de processus stochastiques 1 1.1 Marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Ruine du joueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Arbre de Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Une ﬁle d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Généralités sur les processus stochastiques 4 2.1 Rappels de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.1 Espace de probabilité, variables aléatoires, loi . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.2 Exemples de variables aléatoires discrètes et continues . . . . . . . . . 6 2.1.3 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.4 Caractérisation d’une loi sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.5 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Filtrations, temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.3 Exemple: variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.4 Quelques quantités importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Chaînes de Markov 17 3.1 Déﬁnition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Noyau de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Graphe de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5 Lois invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.6 Chaînes de Markov et temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7 Classiﬁcation des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.7.1 Communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.7.2 Récurrence-transience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.7.3 Espérance du temps de retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.7.4 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 3.8 Calcul pratique de la probabilité et de l’espérance du temps d’absorption . . 28 3.9 Comportement en temps long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.10 Complément: Chaînes de Markov non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 Processus Gaussiens 34 4.1 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1.1 Loi standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1.2 Loi normale, cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.3 Le Théorème Central Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 Indépendance des accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Stationnarité des accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.6 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.7 Quelques exercices autour du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . 42 5 Processus de Poisson 44 5.1 La loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Processus de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.4 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5 Quelques propriétés du processus de Poisson . . . . . . . uploads/Industriel/ cours-ps-fgi-3.pdf