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Support de Cours Mécanique des solides Le document qui suit est le support du cours dispensé en deuxième année (niveau BAC+2) à l’ESISAR - INPG. Le volume horaire est de 15 h de cours de 13 h 30 de TD et de 6 h de TP. Laurent Granjon 3 février 2000 Copyright : utilisation de ces documents libre pour tout usage personnel. Utilisation autorisée pour tout usage public non commercial, à condition de citer son auteur (Laurent Granjon, ESISAR, INPG, mel : Laurent.Granjon@esisar.inpg.fr) et de me signaler tout usage intensif. Utilisation commerciale interdite sans accord écrit de ma part. ESISAR Cours de mécanique du solide PH-212 EI-2 © Laurent Granjon 1999 II 3 février 2000 Sommaire Titre et notice de copyright I Sommaire II Bibliographie IV Introduction à la mécanique des solides 1 Notion de système - Notion de modèle 1 Hypothèses utilisées en mécanique classique 1 Limites de la mécanique classique 2 Applications 2 Méthodologie d’étude 2 Savoir et savoir-faire nécessaires à la résolution d’un problème de mécanique 4 Plan d’étude d’un système mécanique 5 Rappel de calcul vectoriel 6 Produit scalaire 6 Bases orthonormées 6 Produit vectoriel 8 Produit mixte 8 Eléments du cadre mathématique 10 Espaces 10 Repérages 10 Vecteur libre 11 Vecteur lié 13 Ensemble de vecteurs liés 13 Torseurs 14 Action mécanique - Statique 15 Action mécanique 15 Définitions utiles pour la modélisation 15 Action mécanique exercée sur un solide ou un ensemble de solides 17 Principe fondamental de la statique 17 Principe d’action et de réaction - actions mécaniques réciproques 19 Nombre d’équations 20 Méthode d’étude d’un problème de statique 20 Les liaisons parfaites 22 Définition 22 Les principales liaisons parfaites 22 Schématisation normalisée des liaisons 28 Créer et recréer des liaisons 30 Cinématique 31 Définition 31 Hypothèses 31 Position d’un point par rapport à un repère 32 Point lié à un solide 32 Trajectoire d’un point par rapport à un repère choisi 33 Vecteur rotation d’un solide ou d’un repère 34 Dérivée cinématique d’un vecteur 36 Vitesse d’un point par rapport à un repère 36 Accélération d’un point par rapport à un repère 38 ESISAR Cours de mécanique du solide PH-212 EI-2 © Laurent Granjon 1999 III 3 février 2000 Géométrie des masses 39 Eléments de définition d’un solide en dynamique 39 Masse 39 Centre de masses 40 Moments d’inertie 41 Produits d’inertie 41 Matrice d’inertie 42 Remarque 42 Théorèmes relatifs aux symétries 43 Matrices centrales d’inertie de quelques solides élémentaires 44 Autre définition du moment d’inertie 48 Théorèmes relatifs aux moments d’inertie 49 Théorèmes d’Huygens 49 Changement de repère 52 Diagonalisation des matrices d’inertie 53 Eléments d’inertie principaux et centraux 54 Méthode pratique de calcul 55 Dynamique 56 Principe fondamental de la dynamique 56 Repère galiléen 56 Torseur dynamique d’un système mécanique 57 Torseur dynamique d’un solide 57 Torseur cinétique d’un solide 58 Calcul du moment dynamique en fonction du moment cinétique 59 Points privilégiés pour le calcul du moment dynamique 59 Calcul des moments cinétiques 60 Calcul pratique des moments cinétiques 62 Rappel sur les moments cinétiques et dynamiques 63 Méthode pratique de calcul 63 Retour sur la méthode générale de résolution d’un problème de dynamique 64 Equations de liaison 66 Liaisons géométriques 66 Liaisons cinématiques 67 Liaisons expérimentales 69 ESISAR Cours de mécanique du solide PH-212 EI-2 © Laurent Granjon 1999 IV 3 février 2000 Bibliographie GAILLARD, RAFFY - Mécanique générale, Tome I et II - EYROLLES 1990 PERES - Mécanique générale - quatrième édition - MASSON, 1994 AGATI, BREMONT et DELVILLE - Mécanique du solide (applications industrielles) DUNOD 1986 BERTIN, FAROUX, RENAULT - Cours de physique, Mécanique 2, Classes préparatoires et premier cycle universitaire, DUNOD 1996 KRAIGE, MERIAM - Mécanique de l’ingénieur, Statique, REYNALD GOULET inc 1996 BONE, BOUCHER et MOREL - Mécanique générale (cours et applications) - DUNOD UNIVERSITE, 1984 COIFFET - La robotique, principes et applications - HERMES. 1986 CRAVERO - Eléments de mécanique classique et statique, EYROLLES, 1988 HENRIOT - Traité théorique et pratique des engrenages - DUNOD - Tomes I et II, 1960 ESISAR Introduction Ch 1 PH-212 © Laurent Granjon 1999 1 3 février 2000 Introduction à la mécanique des solides 1 Notion de système - Notion de modèle Pour étudier de manière efficace le monde qui l’entoure, l’homme s’est aperçu qu’il est possible de fragmenter l’ espace qui nous entoure en différents « systèmes » qui « interagissent » entre eux. Exemples de système : une voiture, une balle de tennis, un marcheur, un touret à meuler,...... Exemple d’interactions entre systèmes : le courant électrique crée un champ magnétique, l’arbre s’appuie sur les paliers, l'eau dissout le sel,.... Le monde qui nous entoure est rempli d’objets, d’éléments matériels, qui interagissent entre eux et avec nous. Le nombre de ces interactions est très grand, souvent infini, et toutes ne peuvent être prises en compte dans l’ étude d’ un système matériel. Pour l’étude des systèmes matériels, l’homme a donc été amené à ne considérer que certaines interactions, en négligeant les autres. Suivant les résultats qui l’intéressent, il a séparé l’étude des systèmes physiques en différentes disciplines (électricité, chimie, thermique, mécanique,....). Au sein de chaque discipline, nous sommes amenés à faire des hypothèses sur les systèmes étudiés, et à limiter notre étude dans l’espace et dans le temps. Nous sommes donc amené à construire des modèles des systèmes, et il ne faut jamais perdre de vue qu’une modélisation n’est pas la réalité, mais seulement une interprétation (généralement basée sur des lois mathématiques) de la réalité, fondée sur des hypothèses plus ou moins juste, plus ou moins précises. N’ oublions jamais qu’ on modèle n’ est qu’ une représentation (très) imparfaite de la réalité. Dans le cadre de ce cours, nous allons nous intéresser uniquement aux relations mécaniques entre les solides, les relations mécaniques étant celles qui modifient l’état de repos ou de mouvement d’un système matériel ou de certaines de ses parties 2 Hypothèses utilisées en mécanique classique En mécanique classique, nous allons étudier : ◊ des systèmes matériels (dont le contenu matériel est ou non variable) qui existent pendant un intervalle donné de temps dans un espace réel à trois dimensions. ◊ On admettra que, à chaque instant, le système matériel considéré est constitué d’éléments individualisable, de points matériels. ◊ Si un ensemble de points matériel est tel que les distances entre chaque point constituant l’ensemble sont constantes, alors cet ensemble de points sera appelé solide. Un solide est donc indéformable. ◊ La masse d’un élément (d’une partie ou de l’ensemble du système matériel) ne dépend que de la quantité de matière qui le compose). ESISAR Introduction Ch 1 PH-212 © Laurent Granjon 1999 2 3 février 2000 ◊ On ne retiendra, dans l’ensemble des relations entre le système et le monde extérieur que celles qui modifient l’ état de repos ou de mouvement du système ou de certaines de ses parties. 3 Limites de la mécanique classique ◊ La mécanique telle que nous l’avons définie ne permet pas d’expliquer et de prévoir les mouvements des très petits systèmes matériels (typiquement les éléments constitutifs de la matière, voire de certaines particules fines (ordre de grandeur : le µm) ◊ De même, les mouvements des galaxies ne sont pas parfaitement pris en compte par la mécanique classique ◊ Si la vitesse d’un système est proche de celle de la lumière, de nouveau, la mécanique classique ne s’applique plus, il faut doit utiliser la relativité. (Typiquement si V>0,1C, C étant la vitesse de la lumière dans le vide). ◊ Il faut se rappeler que dans les modélisations que nous allons effectuer, toutes les interactions entre les systèmes ne sont pas prises en compte, alors que certaines peuvent être importantes pour le système considéré, ou avoir une action à long terme (exemple : les variations de température, ou les problèmes chimiques pour la fatigue des matériaux, la prise en compte des phénomènes de dilatation souvent négligés,....) 4 Applications Une application classique du cours de mécanique du solide est le gyroscope, mais, de plus en plus, la robotique et l’automatisation des processus vont nous intéresser. Les systèmes automatisés et les robots doivent être de plus en plus complexes, rapides, précis. La mécanique, couplée à l’informatique, permet de dimensionner et de prévoir des modèles de commande relativement sophistiqués pour optimiser la commande et l’asservissement de robots de plus en plus complexe et rapides, avec une répétabilité toujours améliorée.... Et ce, en temps réel. 5 Méthodologie La méthode que nous allons utiliser consiste à s’intéresser successivement à chacun des solides ou ensemble de solides constituant un mécanisme. Il faut isoler le solide. Nous analyserons alors : ◊ Ses mouvements : un solide possède six degrés de liberté, et à chaque degré de liberté correspond un paramètre géométrique, linéaire ou angulaire. Deux cas sont alors possible : ◊ Soit ce paramètre est connu (on dira asservi). Cela suppose qu’une action mécanique inconnue permet d’ obtenir la loi de variation de ce paramètre en fonction du temps ◊ Soit ce paramètre est inconnu, on dira libre, car il est libre d’évoluer en uploads/Industriel/ mecanique-des-solides.pdf