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MODELISATION DES SYSTEMES 1-INTRODUCTION 1-1-DEFINITION DE LA NOTION DE SYSTEME

MODELISATION DES SYSTEMES 1-INTRODUCTION 1-1-DEFINITION DE LA NOTION DE SYSTEME 1-2-MODELISATION DES SYSTEMES LINEAIRES 2-FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTEME LINEAIRE 3-ETUDE DE QUELQUES SYSTEMES LINEAIRES 3-1-Systemes du premier ordre 3-2-Systèmes du second ordre 3-3-Systèmes pouvant être du premier ou du deuxième ordre 3-4-Systèmes aux équations couplées A.BENHARI MODELISATION DES SYSTEMES 1-INTRODUCTION 1-1-DEFINITION DE LA NOTION DE SYSTEME Un système est défini par ses constituants et les interactions qui existent entre eux, l’ensemble représentant une entité individualisée. Par système, on signifie souvent processus. L’importance de la notion de système réside dans sa généralité. En effet, un système ou un processus peuvent être de nature quelconque : mécanique, électrique, électromécanique, biologique, chimique, physico-chimique, sociologique, économique, industriel, etc. Pour ce qui concerne la théorie des systèmes, on considère le système (ou le processus) évoluant dans son environnement et pouvant interagir avec lui. A priori, le système peut être considéré comme une boite noire ou black box en anglais (Figure 1). Il est dès lors important, en premier lieu, de distinguer les grandeurs d’entrée (inputs) et les grandeurs de sortie (outputs) du système étudié. Ensuite, il importe d’essayer de déterminer les relations qui les relient et de connaître la nature et les modes d’interaction avec l’environnement. Par grandeur de sortie, on entend la grandeur que l’on souhaite réguler ou asservir. Par grandeur d’entrée, on entend les signaux qui permettent d’agir sur le système, c’est-à-dire qui affectent l’état de sa grandeur de sortie. La grandeur de sortie peut être modifiée par l’action des grandeurs d’entrées ou sous l’effet de perturbations provenant de l’environnement ou encore sous l’effet de la variation des constituants du système lui-même. Figure 1 : représentation d’un système en black-box Un exemple, qui va nous intéresser particulièrement durant ce cours, est le problème de la régulation de la température d’une salle de classe. Le système à réguler est constitué de la salle de classe avec les échangeurs de chaleur, les murs, les fenêtres, les personnes et les objets qui sont à l’intérieur. La grandeur de sortie de ce système est la température à l’intérieur de la salle, c’est la grandeur que l’on veut réguler. La grandeur d’entrée est constituée par le débit d’eau chaude qui circule dans les échangeurs pour réchauffer la salle. Bien entendu, il y’a des relations thermodynamiques qui relient la température ambiante dans la salle au débit du liquide chauffant. Par ailleurs, ce système est soumis à des perturbations, interne comme le nombre d’étudiants, et externe comme ouverture de la porte, etc. L’idée de base dans le contrôle des systèmes est qu’il faut d’abord déterminer (identifier) un modèle du système à asservir. Une fois qu’un modèle est disponible, il s’agit d’étudier son comportement et de déterminer des dispositifs de contrôle. L’étude du comportement du système consiste essentiellement à déterminer comment la sortie du système réagit aux sollicitations des entrées et aux perturbations. A.BENHARI 19 1-2-MODELISATION DES SYSTEMES LINEAIRES Dans ce cours, on s’intéressera principalement à l’étude des systèmes linéaires invariants dans le temps. Par invariance dans le temps, on entend que les paramètres du modèle sont constants et indépendants du temps. Mathématiquement, un système linéaire invariant est gouverné par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ces équations différentielles relient la sortie à l’entrée. L’identification des grandeurs d’entrée et de sortie pour un processus ainsi que l’établissement d’équations les reliant constitue l’étape de modélisation mathématique du système à étudier. La restriction aux systèmes physiques linéaires (gouvernés par des équations différentielles linéaires) est due au fait que seules ces dernières disposent de solutions analytiques connues. Cependant, il est évident que la plupart des systèmes physiques étudiés sont fondamentalement non linéaires. Certains systèmes non linéaires peuvent être linéarités et peuvent ainsi être étudiés, sous certaines hypothèses, dans le cadre de la théorie des systèmes linéaires. En réalité, le modèle d’un processus donné n’est jamais parfait; par conséquent, on commet immanquablement une erreur de modélisation. Prenons, pour simplifier l'exposé, le cas des systèmes linéaires ou on ne s’intéresse qu'à une seule grandeur d'entrée et une seule grandeur de sortie (Single-Input-Single-Output : SISO). 2-FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTEME LINEAIRE Si l’on revient au cours sur la transformée de Laplace, on peut convenir qu’il est plus pratique d’utiliser les techniques du calcul opérationnel pour résoudre les équations différentielles qui modélisent les systèmes linéaires à étudier. On sait qu’un système donné par son équation différentielle dans l’espace temporelle peut être de manière équivalente représentée dans le plan de Laplace par une équation algébrique. Ainsi, on convient de caractériser le système dans l’espace de Laplace par une fonction que l’on appelle la fonction de transfert du système. Cette fonction est définie comme le rapport entre la transformées de Laplace de la sortie sur la transformée de Laplace de l’entrée sous l’hypothèse que les conditions initiales sont toutes nulles. Le fait de considérer des conditions initiales nulles signifie que l’on s’intéresse seulement à l’étude de la réponse forcée du système et que l’on ne considère pas la réponse libre qui dépend des conditions initiales. Exemple1 : Soit donc donnée une équation différentielle qui représente le modèle d’un système physique: x y dt dy = + 2 La sortie du système est y(t) et l’entrée est x(t). Si on considère que la condition initiale est nulle, on obtient après application de la transformée de Laplace l’équation algébrique: ( ) 2 ( ) ( ) pY p Y p X p + = En effectuant le rapport de la sortie sur l’entrée, on obtient la fonction de transfert du système considéré : ( ) 1 ( ) . ( ) 2 Y p F p X p p = = + Exemple 2: Soit donnée une équation différentielle qui représente le modèle d’un système physique : x dt dx y dt dy dt y d + = + + 5 2 2 2 La sortie est y(t) et l’entrée est x dt dx t x + = . 5 ) ( 1 . A.BENHARI 20 Par application de la transformée de Laplace, on obtient : 2 ( ) 2 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) p Y p pY p Y p pX p X p + + = + ; d’où la fonction de transfert du système considéré : 2 5 1 ( ) . 2 1 p F p p p + = + + Remarque : On peut passer d’une représentation par équation différentielle à une représentation par fonction de transfert et vice-versa. Il existe aussi d’autres représentations comme la représentation par variables d’états et la représentation sous forme de pôles et zéros. Pour obtenir l’équation différentielle d’un système dont on connaît la fonction de transfert, il suffit de remplacer p par l’opérateur de dérivation : d p dt → , 2 2 2 d p dt → et en général : n n n d p dt → Nous étudierons dans un autre chapitre, les propriétés intéressantes de la fonction de transfert. 3-ETUDE DE QUELQUES SYSTEMES LINEAIRES Etudions les exemples des systèmes du premier ordre et du second ordre. 3-1-Systemes du premier ordre a)-Exemple d’un circuit Electrique Soit l’exemple d’un circuit électrique élémentaire qui est constitué d’une résistance R et d’une self L. Ce circuit peut servir de modèle pour un chauffage électrique à résistance, pour un moteur électrique à courant continu, pour un filtre électrique en télécommunications, etc. Pour obtenir le modèle de ce système, il faut : 1-Détrminer l’entrée et la sortie. Dans ce genre de problèmes, la sortie est l’intensité du courant i qui circule dans le circuit. S’il s’agit d’un chauffage par résistance, le courant i est la grandeur de sortie puisque c’est ce courant qui détermine la température dans la pièce. S’il s’agit d’un moteur à courant continu, ce courant est la grandeur que l’on souhaite contrôler puisqu’il est directement relié au couple qui agit sur le moteur pour avoir une vitesse de rotation constante. L’entrée est la tension V. C’est le grandeur qui permet d’agir et de modifier la grandeur de sortie i. En effet, par modification de la tension d’entrée, on modifie l’intensité du courant i. 2-Trouver le lien entre la sortie et l’entrée. C’est immédiat, il suffit d’appliquer les lois de Kirchoff. dt di L Ri v + = La relation obtenue, reliant la sortie à l’entrée, est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. Ces équations constituent le modèle mathématique du système électrique étudié. 3-Fonction de transfert. En appliquant la transformée de Laplace à l’équation différentielle du système électrique, on obtient : ( ) ( ) ( ) V p R Lp I p = + On peut en déduire la fonction de transfert du système, notée F(p): A.BENHARI 21 ( ) 1 ( ) ( ) . I p F p V p R L p = = + Dans la représentation des systèmes que l’on utilisera, un système sera représenté graphiquement par un rectangle (voir Figure 2). Le rectangle contiendra souvent la fonction de transfert. b/ Exemple d’un système Hydraulique Comme pour l’exemple du circuit électrique, soit un système uploads/Industriel/ modelisation-des-systemes.pdf