Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1/3 L. Pilote Devoir de synthèse N°3 Le : 08 - 05 - 14 Durée : 4heures Classe:

1/3 L. Pilote Devoir de synthèse N°3 Le : 08 - 05 - 14 Durée : 4heures Classe: 4M1 Exercice N°1 (4 points) NB : Les questions 1), 2) et 3) de cet exercice sont indépendantes. 1) a) Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel n, les restes de la division euclidienne de 2n et de 3n par 7. b) Quels sont les entiers naturels n tels que 2n + 3n + 6n soit divisible par 7? 2) a) Résoudre dans Z² l’équation (E) : 9x – 7y = – 6 b) En déduire la résolution dans Z du système :   n 7 9 n 1 7        c) Déterminer la solution dans Z² de (E) vérifiant : xy = 6 et xy = 72 3) Résoudre dans IN² l’équation : x² + y² = 7. Exercice N°2 (3 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u, v), on associe à tout point M d’affixe z, le point M' d’affixe z' tel que z' = – z² – (1 – 3i)z + 4 – 3i On pose z = x + iy et z' = x' + iy' . 1) Calculer x' et y' en fonction de x et y. 2) a) Démontrer que, lorsque M' décrit l’axe des ordonnées, le point M décrit la courbe (H) d’équation : x² – y² + x + 3y – 4 = 0. b) Déterminer la nature de (H) et ses éléments caractéristiques. c) Tracer la courbe (H) . 3) a) Démontrer que, lorsque M' décrit l’axe des abscisses, le point M décrit la courbe (H’) d’équation : 2xy – 3x + y + 3 = 0. b) Déterminer la nature de (H’), son centre et ses asymptotes. c) Tracer (H’). Exercice N°3 (4 points) On s’intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d’une boîte de vitesses automatique. Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte. L’usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2. Le sous-traitant S1 produit 80 % des pièces de type P1 et 40 % de pièces de type P2. Le sous-traitant S2 produit 20 % des pièces de type P1 et 60 % de pièces de type P2. 1) Un employé de l’usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type. Il tire une pièce au hasard. a) Déterminer la probabilité de tirer une pièce P1 . b) Déterminer la probabilité pour que la pièce tirée soit du type P1 et qu’elle vienne de S1. c) Montrer que la probabilité que la pièce tirée vienne de S1 est égale à 0,6. 2) Il y a 200 pièces au total. Cette fois l’employé tire deux pièces simultanément. On suppose que tous les 2/3 tirages sont équiprobables. a) Déterminer la probabilité de tirer deux pièces du type P1. b) Déterminer la probabilité de tirer une pièce de chaque type. c) Montrer que la probabilité de tirer deux pièces fabriquées par le même sous traitant est égale à 103 199 3) La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre λ est donné dans le tableau suivant :  P1 P2 S1 0,2 0,25 S2 0,1 0,125 Montrer qu’une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité qu’une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est égale à 0,6321. Exercice N°4 (4 points) Soit ABCD un carré de centre O tel que       ^ , AB AD 2 2 . On pose I = A * B et J = A *D On note s la similitude directe tels que s(D) = O et s(C) = I. 1) a) Déterminer le rapport et l’angle de s. b) Soit le centre de s. Trouver une construction géométrique de . 2) a) Préciser les images respectives des droite ( BD ) et ( BC ) par s . b) Déterminer alors s (B) et s (A) et s o s (B) . c) Montrer que est le barycentre des points pondérés ( B , 1 ) et ( J , 4 ). 3) On suppose dans cette question que   A , AB , AD est un repère orthonormé direct du plan. a) Déterminer l’écriture complexe de s. b) En déduire l’affixe z0 de  centre de s. 4) Soit R la rotation de centre O et d’angle 2 et h =R o s. a) Préciser h (B) puis caractériser h. b) Soit ’ le milieu de  B  . Montrer que le triangle O’ est rectangle et isocèle. Exercice N°5 (5 points) Partie A On considère l’équation différentielle (E) : y′ + y = e−x . 1) Démontrer que la fonction u définie sur IR par u(x) = xe−x est une solution de (E). 2) Résoudre l’équation différentielle (E0) : y′ + y = 0. 3) Démontrer qu’une fonction v, définie et dérivable sur IR, est solution de (E) si et seulement si v −u est solution de (E0). 4) En déduire toutes les solutions de (E). 5) Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0. Partie B k étant un nombre réel donné, on note fk la fonction définie sur IR par : fk (x) = (x +k)e−x . On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormé (O,i, j) 3/3 1) Déterminer les limites de fk en −∞ et +∞. 2) Calculer ' k f (x) pour tout réel x. 3) En déduire le tableau de variations de fk . Partie C 1) On considère la suite d’intégrales (In ) définie par I0 = 0 x 2e dx    et pour tout entier naturel n ≥ 1 par : In = 0 n x 2 x e dx    a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale I0. b) En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité : In+1 = (−2)n+1e2 +(n +1)In . c) En déduire la valeur exacte de l’intégrale I1 . 2) Le graphique ci-contre représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’une fonction fk définie à la partie B. a) À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel k correspondant. b) Soit S l’aire de la partie hachurée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I1 et I0 et en déduire sa valeur exacte. uploads/Industriel/ 4m-ds3-13-14-lycee-pilote.pdf