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NOTES DU COURS : MODÉLISATION MATHÉMATIQUE POUR L’ÉCOLOGIE, L’ENVIRONNEMENT ET

NOTES DU COURS : MODÉLISATION MATHÉMATIQUE POUR L’ÉCOLOGIE, L’ENVIRONNEMENT ET L’ÉCONOMIE (MAP 556, ANNÉE 2014-2015) Jean-René CHAZOTTES Version du 12 juin 2014 Tout est brouillon en effet, l’idée de texte déﬁnitif ne relevant que de la religion ou de la fatigue. J. L. BORGES Préface à la traduction en vers espagnols du «Cimetière marin» de Valéry Remember that all models are wrong ; the practical question is how wrong do they have to be to not be useful. BOX & DRAPER Empirical Model-Building (1987), Wiley. Les chaussures sont un outil pour marcher ; les mathématiques, un outil pour penser. On peut marcher sans chaussures, mais on va moins loin. JEAN-MARIE SOURIAU Grammaire de la Nature (2007). Table des matières I MODÈLES DE BASE & LEUR MISE EN PERSPECTIVE 1 1 Généralités 5 2 Reproduction aléatoire en temps discret 9 2.1 Le modèle de Bienaymé-Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Plusieurs types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Environnement variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Suppléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Naissances & morts aléatoires en temps continu 31 3.1 Naissances seules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Morts seules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Processus avec des naissances et des morts . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Temps d’attente entre les changements d’état . . . . . . . . . . . . 41 3.5 Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 Limiter la croissance 47 4.1 Le processus de Bienaymé-Galton-Watson densité-dépendant . . 47 4.2 Le modèle logistique déterministe à temps continu . . . . . . . . . 52 4.3 Une version stochastique du modèle logisitique . . . . . . . . . . . 56 4.4 Le modèle logistique déterministe à temps discret . . . . . . . . . 58 4.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5 Interactions 65 5.1 Proies & prédateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2 Compétition & coopération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3 Systèmes différentiels pour l’écologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.4 Modèles aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 v vi TABLE DES MATIÈRES 6 Modéliser la dispersion dans l’espace : premiers pas 91 6.1 Habitats fragmentés et métapopulations . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.2 Des promenades aléatoires aux équations de réaction-diffusion . 96 6.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 II BOÎTE À OUTILS 105 7 Dynamique déterministe à temps continu : Introduction à l’analyse qualitative des systèmes différentiels 109 7.1 Fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2 Stabilité des équilibres : exemples & déﬁnitions . . . . . . . . . . . 119 7.3 Linéarisation au voisinage d’un équilibre . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.4 Fonctions de Liapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.5 Solutions périodiques, cycles et cycles limites . . . . . . . . . . . . 143 7.6 Sur la stabilité structurelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.7 Bifurcations : rudiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.8 ' Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8 Dynamique markovienne à temps et à espace discrets 167 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.2 Chaînes de Markov et matrices de transition . . . . . . . . . . . . . 169 8.3 Loi de probabilité initiale & son évolution . . . . . . . . . . . . . . 178 8.4 Temps d’arrêt et propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . 182 8.5 Espace d’état ﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.6 Espace d’état inﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.7 Comportements en temps longs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.8 Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 III ÉTUDE DE QUELQUES MODÈLES 211 9 Sur les modèles proie-prédateur 215 9.1 Le modèle de Rosenzweig-McArthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.2 Théorème de Kolmogorov-Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 10 Sur la compétition et la coopération 221 10.1 Un modèle de coopération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.2 Trois compétiteurs : l’exemple de May-Leonard uploads/Industriel/ livremodelisation-mathematique-pour-l-x27-ecologie-l-x27-environnement-et-l-x27-economie.pdf