Mouvement Brownien Le mouvement Brownien Promenade al´ eatoire Propri´ et´ es I

Mouvement Brownien Le mouvement Brownien Promenade al´ eatoire Propri´ et´ es Int´ egrale de Wiener Exemples 1 Robert Brown (1828) observe le mouvement irr´ egulier de particules de pollen en suspension dans l’eau. Delsaux (1877) explique les changements incessants de direction de trajectoire par les chocs entre les particules de pollen et les mol´ ecules d’eau. Bachelier (1900) met en ´ evidence le caract` ere “markovien” du mouvement Brownien, en vue d’´ etudier les cours de la Bourse. Einstein (1905) d´ etermine la densit´ e de transition du mouvement Brownien par l’interm´ ediaire de l’´ equation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien et les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles de type parabolique. Smoluchowski (1905) d´ ecrit le mouvement Brownien comme une limite de promenades al´ eatoires. N. Wiener (1923) r´ ealise la premi` ere ´ etude math´ ematique rigoureuse et donne une d´ emonstration de l’existence du Brownien. 2 P. L´ evy (1948) s’int´ eresse aux propri´ et´ es fines des trajectoires du Brownien. Depuis, travaux d’Itˆ o, Watanabe, Meyer, Yor, LeGall, Salminen, Durrett, Chung, Williams, Knight, Pitman,... 3 1 Le mouvement Brownien 4 On se donne un espace (Ω, F, P) et un processus (Bt, t ≥0) sur cet espace. 1.1 D´ efinition. Le processus (Bt, t ≥0) est un mouvement Brownien (standard) si a) P(B0 = 0) = 1 (le mouvement Brownien est issu de l’origine). b) ∀s ≤t, Bt −Bs est une variable r´ eelle de loi gaussienne, centr´ ee de variance (t −s). c) ∀n, ∀ti, 0 ≤t0 ≤t1 . . . ≤tn, les variables (Btn −Btn−1, . . . , Bt1 −Bt0, Bt0) sont ind´ ependantes. c’) Pour tout (t, s) la variable Bt+s −Bt est ind´ ependante de la tribu du pass´ e avant t, soit FB t = σ(Bu, u ≤t). 5 1.2 G´ en´ eralisation. Le processus Z d´ efini par Zt = a + Bt est un Brownien issu de a. On dit que X est un MB de drift µ et de coefficient de diffusion σ si Xt = x + µt + σBt o` u B est un mouvement Brownien. La v.a. Xt est une v.a. gaussienne d’esp´ erance x + µt et de variance σ2t. Pour tout (t, s), la v.a. Xt+s −Xt est ind´ ependante de FX t = σ(Xu, u ≤s). 6 2 Promenade al´ eatoire 7 On peut montrer que le mouvement Brownien s’obtient comme limite de promenades al´ eatoires renormalis´ ees. Soit, sur un espace de probabilit´ e (Ω, F, P) une famille de variables al´ eatoires de Bernoulli ind´ ependantes ´ equidistribu´ ees P(Xi = 1) = P(Xi = −1) = 1 2 , i ∈I N ∗. On associe ` a cette famille la suite (Sn , n ≥0) d´ efinie par S0 = 0, Sn = n
i=1 Xi On dit que la suite Sn est une promenade al´ eatoire On a E(Sn) = 0, Var (Sn) = n. 8 - 6 O 1 2




S1 S2 @ @ @ @ @ @ @ @




@ @ @







n Sn @ @ @ Promenade al´ eatoire 9 Remarquons que la suite (Sm −Sn, m ≥n) est ind´ ependante de (S0, S1, . . . , Sn) et que Sm −Sn a mˆ eme loi que Sm−n. On proc` ede alors ` a une double renormalisation. Soit N fix´ e * on ram` ene l’intervalle de temps [0, N] ` a [0, 1] * on change l’´ echelle des valeurs prises par Sn. Plus pr´ ecis´ ement, on d´ efinit une famille de variables al´ eatoires index´ ees par les r´ eels de la forme k N , k ∈I N, par U k N = 1 √ N Sk . On a E  U k N  = 0 et Var  U k N  = k N . 10 Les propri´ et´ es d’ind´ ependance et de stationarit´ e de la promenade al´ eatoire restent v´ erifi´ ees, soit • si k ≥k′, U k N −U k′ N est ind´ ependante de (U p N ; p ≤k′) • si k ≥k′, U k N −U k′ N a mˆ eme loi que U k−k′ N . On d´ efinit un processus ` a temps continu (Ut , t ≥0) ` a partir de U k N en imposant ` a la fonction t →Ut d’ˆ etre affine entre k N et k+1 N . Pour cela, N ´ etant fix´ e, on remarque que pour tout t ∈I R+ il existe k(t) ∈I N unique tel que k(t) N ≤t < k(t)+1 N et on pose U N t = U k N + N  t −k N   U k+1 N −U k N ) o` u k = k(t). Pour t = 1 on a U N 1 = 1 √ N SN. Le th´ eor` eme central-limite implique alors que U N 1 converge en loi vers une variable al´ eatoire gaussienne centr´ ee r´ eduite. 11 On montre alors que le processus U N converge (au sens de la convergence en loi) vers un mouvement Brownien B. En particulier U N t L →Bt et (U N t1 , . . . , U N tk ) L →(Bt1, . . . , Btk) pour tout k-uple (t1, . . . , tk). 12 0 1 2 3 4 5 −10 −5 0 5 Figure 1: Trajectoires Browniennes 1 3 Propri´ et´ es 13 Soit B = (Bt, t ≥0) un mouvement Brownien et Ft = σ{Bs, s ≤t} sa filtration naturelle. 3.1 Processus Gaussien Proposition 3.1 Le processus B est un processus Gaussien, d’esp´ erance nulle et de covariance Cov(Bt, Bs) = s ∧t. Le processus (Xt = x + µt + σBt, t ≥0) est un processus gaussien d’esp´ erance x + µt et de covariance E[(Xt −E(Xt)) (Xs −E(Xs))] = σ2(s ∧t) 14 3.2 Une notation On note Ex(f(Bs)) l’esp´ erance de f(Bs) quand B est un Brownien issu de x. Cette quantit´ e est ´ egale ` a E(f(x + Bs)) = 1 √ 2πt  I R f(x + y) exp  −y2 2t  dy o` u B est un Brownien issu de 0. On note Px(Bs ∈A) = P(x + Bs ∈A) et Px(Bs ∈da) est la densit´ e de la v.a. Bs o` u B est un Brownien partant de x. 15 3.3 Scaling Proposition 3.2 Si (Bt, t ≥0) est un mouvement Brownien, alors i) le processus ˆ Bt = −Bt est un mouvement Brownien. ii) le processus ˜ Bt = 1 cBc2t est un mouvement Brownien. (Propri´ et´ e de scaling) 16 3.4 Propri´ et´ e de Markov Th´ eor` eme 3.3 Pour f bor´ elienne born´ ee, pour u > t E(f(Bu) |Ft ) = E(f(Bu) |σ(Bt)) Pour tout s, le processus (Wt, t ≥0) d´ efini par Wt def = Bt+s −Bs est un mouvement Brownien ind´ ependant de Fs. Pour u > t, conditionnellement ` a Bt, la v.a. Bu est de loi gaussienne d’esp´ erance Bt et de variance u −t. Alors E(1 1Bu≤x |Ft ) = E(1 1Bu≤x |σ(Bt)) = E(1 1Bu≤x |Bt ) pour t ≤u. 17 Proposition 3.4 Propri´ et´ e de Markov forte: Soit T un temps d’arrˆ et ` a valeurs finies. On a alors E(f(BT +s) |FT ) = E(f(BT +s) |σ(BT )) En particulier, pour tout temps d’arrˆ et fini T, le processus (Wt, t ≥0) d´ efini par Wt def = Bt+T −BT est un mouvement Brownien ind´ ependant de FT . 18 3.5 Trajectoires Nous admettons les r´ esultats suivants: Les trajectoires du mouvement Brownien sont continues. Les trajectoires du mouvement Brownien sont p.s. “nulle part diff´ erentiables”. Th´ eor` eme 3.5 Soit n fix´ e et tj = j 2n t pour j variant de 0 ` a 2n. Alors 2n j=1[B(tj) −B(tj−1)]2 →t quand n →∞, la convergence ayant lieu en moyenne quadratique et p.s.. Proposition 3.6 Soit σ une subdivision de l’intervalle [0, t] caract´ eris´ ee par 0 = t0 ≤t1 . . . ≤tn = t. Soit Vt la variation de la trajectoire du Brownien sur [0, t] d´ efinie par Vt(ω) = supσ  i |Bti+1(ω) −Bti(ω)|. Alors Vt(ω) = ∞p.s. 19 3.6 Propri´ et´ es de martingale 3.6.1 a. Cas du Brownien Proposition 3.7 Le processus B est une martingale. Le processus (B2 t −t, t ≥0) est une martingale. R´ eciproquement, si X est un processus continu tel que X et (X2 t −t, t ≥0) sont des martingales, X est un mouvement Brownien. 20 Proposition 3.8 Soit B1 et B2 deux MB ind´ ependants. Le produit B1B2 est une martingale. D´ efinition 3.9 On dit que B est un (Gt)-mouvement Brownien si B et (B2 t −t, t ≥0) sont des (Gt)-martingales. Proposition 3.10 Pour tout λ uploads/Industriel/ mouvement-brownien.pdf

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• Publié le Jul 04, 2021
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