Baccalaur´ eat France m´ etropolitaine Juin 2007 - S´ erie ES Math´ ematiques (

Baccalaur´ eat France m´ etropolitaine Juin 2007 - S´ erie ES Math´ ematiques (1/4) EXERCICE 1 : (4 points) QCM Pour chacune des questions, une seule des r´ eponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le num´ ero de la question et la lettre correspondant ` a la r´ eponse choisie. Aucune justification n’est demand´ ee. NOTATION : une r´ eponse exacte rapporte 1 point, une r´ eponse fause enl` eve 0,25 point, l’absence de r´ eponse ne rapporte aucun point et n’en enl` eve aucun. Si le total des points est n´ egatif, la note globale attribu´ ee ` a l’exercice est 0. 1) Pour tout nombre r´ eel a et pour tout nombre r´ eel b, on peut affirmer que ea eb est ´ egal ` a : R´ eponse A : e( a b ) R´ eponse B : e(a−b) R´ eponse C : ea −eb 2) On consid` ere trois fonctions f, g et h d´ efinies sur R telles que, pour tout nombre r´ eel x, f(x) ⩽g(x) ⩽h(x). Si l’on sait que lim x→+∞g(x) = +∞alors on peut en d´ eduire que : R´ eponse A : lim x→+∞f(x) = +∞ R´ eponse B : lim x→+∞f(x) = −∞ R´ eponse C : lim x→+∞h(x) = +∞ 3) On consid` ere une fonction f d´ efinie et d´ erivable sur R, de d´ eriv´ ee f ′. On donne ci-dessous son tableau de variations. x 1 1 1 +1 f 0 (x) + 0 0 + f (x) 0 e p 2 +1 a. L’´ equation f(x) = 1 admet dans R : R´ eponse A : trois solutions R´ eponse B : deux solutions R´ eponse C : une solution b. On note C la courbe repr´ esentative de la fonction f dans le plan muni d’un rep` ere  O; − → i ; − → j  . La tangente ` a la courbe C au point d’abscisse 0 peut avoir pour ´ equation : R´ eponse A : y = −3x + 2 R´ eponse B : y = 3x + 2 R´ eponse C : y = −4 EXERCICE 2 : OBLIGATOIRE (5 points) PARTIE A : Dans un pays europ´ een, le montant des recettes touristiques, exprim´ e en millions d’euros, est donn´ e dans le tableau ci-dessous : Ann´ ee 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Rang de l’ann´ ee xi 0 1 2 3 4 5 Montant des recettes touristiques yi en millions d’euros 24 495 26 500 29 401 33 299 33 675 34 190 1) On utilise un ajustement affine. Donner, ` a l’aide de la calculatrice, l’´ equation de la droite d’ajustement de y en x, obtenu par la m´ ethode des moindres carr´ es. Les coefficients, obtenus ` a l’aide de la calculatrice, seront arrondis au centi` eme. 2) En supposant que cet ajustement est valable jusqu’en 2007, calculer le montant que l’on peut pr´ evoir pour les recettes touristiques de l’ann´ ee 2007, arrondi au million d’euros. PARTIE B : On consid` ere la fonction f d´ efinie pour tout nombre entier n par f(n) = e10,13+0,07 n. On utilise cette fonction pour mod´ eliser l’´ evolution des recettes touristiques de ce pays europ´ een. Ainsi, f(n) repr´ esente le montant des recettes touristiques (exprim´ e en millions d’euros) de ce pays europ´ een pour l’ann´ ee 2000 + n. 1) Selon ce mod` ele, calculer le montant des recettes touristiques que l’on peut pr´ evoir pour l’ann´ ee 2007. Arrondir le r´ esultat au million d’euros. 2) a. D´ eterminer le nombre entier n ` a partir duquel f(n) > 45 000. b. En d´ eduire l’ann´ ee ` a partir de laquelle, selon ce mod` ele, le montant des recettes touristiques d´ epasserait 45 000 millions d’euros. Baccalaur´ eat France m´ etropolitaine Juin 2007 - S´ erie ES Math´ ematiques (2/4) EXERCICE 2 : SP ´ ECIALIT ´ E (5 points) La production journali` ere d’une entreprise d´ epend de deux facteurs : le travail de la main d’œuvre et l’utilisation des machines. On d´ esigne : - par x la dur´ eejournali` ere de travail de la main d’œuvre, exprim´ ee en heures ; x appartient ` a l’intervalle ]0 ; 10] - par y la dur´ eejournali` ere d’utilisation des machines, exprim´ ee en heures ; y appartient ` a l’intervalle ]0 ; 12] La quantit´ e journali` ere produite (en tonnes) est donn´ ee par la relation : f(x, y) = 3xy x + y avec 0 < x ⩽10 et 0 < y ⩽12 La figure ci-dessous repr´ esente la surface (S) d’´ equation : z = f(x, y) pour 0 < x ⩽10 et 0 < y ⩽12 . 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Z X Y Z A PARTIE 1 : Le point A repr´ esent´ e sur le graphique est sur la surface S. 1) D´ eterminer graphiquement l’abscisse et la cote du point A. Calculer son ordonn´ ee (arrondie au dixi` eme). 2) Interpr´ eter les r´ esultats obtenus en r´ ef´ erence ` a la production journali` ere de l’entreprise. PARTIE 2 : Pour chaque heure, le coˆ ut total du travail s’´ el` eve ` a 4 milliers d’euros, et le coˆ ut total d’utilisation des machines s’´ el` eve ` a 1 millier d’euros. L’entreprise d´ ecide de d´ epenser 36 milliers d’euros par jour et cherche ` a maximiser sa production journali` ere sous cette contrainte. On a alors 4x + y = 36. La quantiti´ e journali` ere produite (en tonnes) sous cette contrainte de coˆ ut peut donc ˆ etre mod´ elis´ ee par la fonction g d´ efinie sur l’intervalle ]0 ; 10] par g(x) = 4x2 −36x x −12 . 1) On note g ′ la fonction d´ eriv´ ee de g sur l’intervalle ]0 ; 10]. a. Pour tout nombre r´ eel x de l’intervalle ]0 ; 10], calculer g ′(x) et montrer que g ′(x) = 4(x −6)(x −18) (x −12)2 . b. Etudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; 10]. 2) a. En d´ eduire la dur´ ee journali` ere de travail et la dur´ ee journali` ere d’utilisation des machines permettant d’obtenir une production journali` ere maximale pour un coˆ ut total de 36 milliers d’euros. b. Pr´ eciser la quantit´ e journali` ere maximale produite en tonnes. Baccalaur´ eat France m´ etropolitaine Juin 2007 - S´ erie ES Math´ ematiques (3/4) EXERCICE 3 : (5 points) Amateur de sudoku (jeu consistant ` a compl´ eter une grille de nombres), Pierre s’entraˆ ıne sur un site internet. 40% des grilles de sudoku qui y sont propos´ ees sont de niveau facile, 30% sont d eniveau moyen et 30% de niveau difficile. Pierre sait qu’il r´ eussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40% des cas. Une grille de sudoku lui est propos´ ee de fac ¸on al´ eatoire. On consid` ere les ´ ev´ enements suivants : F : « la grille est de niveau facile » M : « la grille est de niveau moyen » D : « la grille est de niveau difficile » R : « Pierre r´ eussit la grille » et R son ´ ev´ enement contraire. 1) Traduire les donn´ ees de l’´ enonc´ e ` a l’aide d’un arbre pond´ er´ e. 2) a. Calculer la probabilit´ e que la grille propos´ ee soit difficile et que Pierre la r´ eussisse. b. Calculer la probabilit´ e que le grille propos´ ee soit facile et que Pierre ne la r´ euississe pas. c. Montrer que la probabilit´ e que Pierre r´ eussisse la grille propos´ ee est ´ egale ` a 0,68. 3) Sachant que Pierre n’a pas r´ eussi la grille propos´ ee, quelle est la probabilit´ e que ce soit une grille de niveau moyen ? 4) Pierre a r´ eussi la grille propos´ ee. Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille ´ etait facile » . Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la r´ eponse ` a l’aide d’un calcul. EXERCICE 4 : (6 points) Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un m´ edicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprim´ ee en kilogrammes, est limit´ ee ` a 10 kilogrammes. PARTIE I : ´ etude des coˆ uts hebdomadaires de production. 1) Le coˆ ut marginal de production est fonction de la quantit´ e x de m´ edicament produit. Une ´ etude a montr´ e que, pour cette entreprise, l’´ evolution du uploads/Industriel/ doc86-devoir-tes-mr-brachet.pdf

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Industrieleponse fonction grille partie l’intervalle
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