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Rappels sur les probabilités, les processus aléatoires et les chaînes de Markov

Rappels sur les probabilités, les processus aléatoires et les chaînes de Markov Amélie Lambert Cnam MPRO - Mise à niveau Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 1 / 110 1 Rappels de probabilité d’une expérience aléatoire Le dénombrement Les variables aléatoires 2 Lois discretes de probabilités et processus aléatoires Lois discretes de probabilités Les processus aléatoires Les processus de comptage 3 Les chaînes de Markov Déﬁnition Matrice associée à une chaîne de Markov Matrice stochastique Graphe associé à une chaîne de Markov Distribution limite dans une chaîne de Markov Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 2 / 110 1 Rappels de probabilité d’une expérience aléatoire Le dénombrement Les variables aléatoires 2 Lois discretes de probabilités et processus aléatoires Lois discretes de probabilités Les processus aléatoires Les processus de comptage 3 Les chaînes de Markov Déﬁnition Matrice associée à une chaîne de Markov Matrice stochastique Graphe associé à une chaîne de Markov Distribution limite dans une chaîne de Markov Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 3 / 110 Quelques rappels Lors d’une expérience aléatoire, c’est-à-dire soumise au hasard, on déﬁnit : L’univers Ωqui est l’ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience aléatoire. Un évènement E qui est un sous-ensemble de résultats possibles pour cette expérience à l’intérieur de l’univers. Le dénombrement d’un évènement qui est le calcul du nombre de cas où l’évènement considéré peut se produire. La probabilité d’un évènement P qui correspond à la fréquence d’un évènement par rapport à l’ensemble des cas possibles. (nombre de cas où l’évènement considéré peut se produire sur le nombre total de cas) Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 4 / 110 Quelques exemples Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 5 / 110 Exemple 1 Soit une classe composée de 2 groupes : Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 Expérience aléatoire : Tirer au hasard 2 étudiants. Question : Quelle est la probabilité de l’évènement E : { tirages avec 1 étudiant (e) de chaque genre et 1 étudiant (e) de chaque groupe } ? Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 6 / 110 Exemple 1 : solution E : { 1 de chaque genre et 1 de chaque groupe } Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 E = H ∪I, où H ={la ﬁlle est du groupe 1} et I ={la ﬁlle est du groupe 2} Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 7 / 110 Exemple 1 : solution E : { 1 de chaque genre et 1 de chaque groupe } Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 E = H ∪I, où H ={la ﬁlle est du groupe 1} et I ={la ﬁlle est du groupe 2} Il y a deux ordres possibles (ﬁlle en premier ou garçon en premier) : 1. Le nombre d’évènements qui commencent avec la ﬁlle en premier est 3 ∗19 = 357 dans H et 10 ∗25 = 250 dans I. 2. Le nombre d’évènements qui commencent avec le garçon en premier est 19 ∗3 = 357 dans H et 25 ∗10 = 250 dans I. Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 7 / 110 Exemple 1 : solution E : { 1 de chaque genre et 1 de chaque groupe } Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 E = H ∪I, où H ={la ﬁlle est du groupe 1} et I ={la ﬁlle est du groupe 2} Il y a deux ordres possibles (ﬁlle en premier ou garçon en premier) : 1. Le nombre d’évènements qui commencent avec la ﬁlle en premier est 3 ∗19 = 357 dans H et 10 ∗25 = 250 dans I. 2. Le nombre d’évènements qui commencent avec le garçon en premier est 19 ∗3 = 357 dans H et 25 ∗10 = 250 dans I. Comme H et I sont disjoints et E = H ∪I cardE = cardH + cardI = 2 ∗357 + 2 ∗250 = 1214 P(E) = nombres de cas favorables nombres de cas possibles = 1214 56∗57 = 1214 3192 = 0.38 Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 7 / 110 Exemple 2 Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 Expérience aléatoire : Tirer au hasard 3 étudiants. Question : Quelle est la probabilité de l’évènement E = { tirages avec exactement 1 ﬁlle et exactement 1 étudiant(e) du groupe 1 } ? Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 8 / 110 Exemple 2 : solution (1/3) E : { 1 ﬁlle et exactement 1 du groupe 1 } Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 Soient : E = { tirages avec exactement 1 ﬁlle et exactement 1 étudiant(e) du groupe 1 } H est le sous-ensemble de E formé des tirages dans lesquels la ﬁlle est du groupe 1. I est le sous-ensemble de E formé des tirages dans lesquels la ﬁlle est du groupe 2. Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 9 / 110 Exemple 2 : solution (2/3) E : { 1 ﬁlle et exactement 1 du groupe 1 } Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 Former un élément de H : sous-ensemble de E formé des tirages dans lesquels la ﬁlle est du groupe 1. 1 Choisir d’abord la ﬁlle dans le groupe 1 2 Choisir un garçon dans le groupe 2 3 Choisir un autre garçon (distinct du premier) dans le groupe 2 4 Choisir l’ordre dans lequel ils vont sortir (il y en a autant que de permutations de 3 personnes, soit 6) Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 10 / 110 Exemple 2 : solution (2/3) E : { 1 ﬁlle et exactement 1 du groupe 1 } Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 Former un élément de H : sous-ensemble de E formé des tirages dans lesquels la ﬁlle est du groupe 1. 1 Choisir d’abord la ﬁlle dans le groupe 1 2 Choisir un garçon dans le groupe 2 3 Choisir un autre garçon (distinct du premier) dans le groupe 2 4 Choisir l’ordre dans lequel ils vont sortir (il y en a autant que de permutations de 3 personnes, soit 6) Former un élément de I : sous-ensemble de E formé des tirages dans lesquels la ﬁlle est du groupe 2. 1 Choisir d’abord la ﬁlle dans le groupe 2 2 Choisir un garçon dans le groupe 1 3 Choisir un garçon dans le groupe 2 4 Choisir l’ordre dans lequel ils vont sortir (il y en a autant que de permutations de 3 personnes, soit 6) Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 10 / 110 Exemple 2 : solution (3/3) E : { 1 ﬁlle et exactement 1 du groupe 1 } Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 Donc cardH = 3 ∗19 ∗18 ∗6 = 6156 cardI = 10 ∗25 ∗19 ∗6 = 28500 Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 11 / 110 Exemple 2 : solution (3/3) E : { 1 ﬁlle et exactement 1 du groupe 1 } Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 Donc cardH = 3 ∗19 ∗18 ∗6 = 6156 cardI = 10 ∗25 ∗19 ∗6 = 28500 Comme H et I sont disjoints et E = H ∪I, cardE = cardH + cardI = 6156 + 28500 = 34656 Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 11 / 110 Exemple 2 : solution (3/3) E : { 1 ﬁlle et exactement 1 du groupe 1 } Groupe 1 Groupe 2 Total Filles 3 10 13 Garçons 25 19 44 Total 28 29 57 Donc cardH = 3 ∗19 ∗18 ∗6 = 6156 cardI = 10 ∗25 ∗19 ∗6 = 28500 Comme H et I sont disjoints et E = H ∪I, cardE = cardH + cardI = 6156 + 28500 = 34656 D’où P(E) = nombres de cas favorables nombres de cas possibles = 34656 57 ∗56 ∗55 = 34656 175560 = 0.197 Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 11 / 110 Techniques de dénombrement Amélie Lambert (Cnam) MPRO - Mise à niveau 12 / 110 Les arrangements Déﬁnition : Une disposition ordonnée de r objets distincts pris parmi n est appelée arrangement. On note Ar n le nombre d’arrangements de r objets distincts parmi n (avec toujours r ≤n). Calcul de Ar n : considérons les r positions comme ﬁxées. Pour la première étape, uploads/Industriel/ proba-markov-cours.pdf