Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Chapitre 1 Rappels math´ ematiques Avant de rentrer dans le vif du sujet, l’obj

Chapitre 1 Rappels math´ ematiques Avant de rentrer dans le vif du sujet, l’objet de ce chapitre est de rappeler quelques concepts et formules math´ ematiques omnipr´ esents dans les d´ eveloppements analytiques de l’a´ eroacoustique. Les principaux op´ erateurs d’analyse vectorielle, la manipulation des tenseurs d’ordre 2, les pro- pri´ et´ es de la transform´ ee de Fourier, les concepts de fonctions g´ en´ eralis´ ees ou ceux des fonctions de Green ne doivent pas ˆ etre totalement inconnus ` a un ´ el` eve ing´ enieur en 3` eme ann´ ee. Aﬁn de d´ emystiﬁer leur utilisation, on rappelera les principales d´ eﬁnitions et propri´ et´ es de ces outils sans donner de d´ emonstration rigoureuse. Les ´ el` eves soucieux d’approfondir leurs fondements math´ ematiques pourront se reporter aux r´ ef´ erences bibliographiques donn´ ees dans ce chapitre. 1.1 El´ ements d’analyse vectorielle 1.1.1 L’op´ erateur gradient L’op´ erateur ”nabla” ∇appliqu´ e ` a un scalaire d´ eﬁnit le gradient du scalaire. Il s’agit d’un vecteur. Par exemple, pour la pression p, qui est un scalaire, le vecteur ∇p ou grad p1 (gradient p) s’´ ecrit : – en coordonn´ ees cart´ esiennes ∇p = ∂p ∂x ex + ∂p ∂y ey + ∂p ∂z ez soit ∇p =   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z  p (ex, ey, ez) ´ etant les trois vecteurs unitaires pour les coordonn´ ees cart´ esiennes (x, y, z). – en coordonn´ ees cylindriques ∇p = ∂p ∂r er + 1 r ∂p ∂θ eθ + ∂p ∂z ez (er, eθ, ez) ´ etant les trois vecteurs unitaires pour les coordonn´ ees cylindriques (r, θ, z). – en coordonn´ ees sph´ eriques ∇p = ∂p ∂r er + 1 r ∂p ∂θ eθ + 1 r sin θ ∂p ∂φ eφ (er, eθ, eφ) ´ etant les trois vecteurs unitaires pour les coordonn´ ees sph´ eriques (r, θ, φ). 1On utilise des lettres en gras pour d´ esigner les grandeurs vectorielles. 115 116 Chapitre 1 : Rappels math´ ematiques 1.1.2 L’op´ erateur divergence Le produit scalaire de l’op´ erateur ”nabla” ∇par un vecteur d´ eﬁnit la divergence du vecteur. La divergence (´ egalement not´ e div) d’un vecteur est un scalaire. Pour le vecteur v, elle s’´ ecrit : – en coordonn´ ees cart´ esiennes ∇.v = div v = ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z avec v = vx ex + vy ey + vz ez2. – en coordonn´ ees cylindriques ∇.v = div v = 1 r ∂(rvr) ∂r + 1 r ∂vθ ∂θ + ∂vz ∂z avec v = vr er + vθ eθ + vz ez. – en coordonn´ ees sph´ eriques ∇.v = div v = 1 r2 ∂(r2vr) ∂r + 1 r sin θ ∂(sin θvθ) ∂θ + 1 r sin θ ∂vφ ∂φ avec v = vr er + vθ eθ + vφ eφ. 1.1.3 L’op´ erateur laplacien Il s’agit d’un op´ erateur diﬀ´ erentiel, not´ e ∆ou ∇23, qui est appliqu´ e ` a un scalaire. – en coordonn´ ees cart´ esiennes ∆p = ∂2p ∂x2 + ∂2p ∂y2 + ∂2p ∂z2 – en coordonn´ ees cylindriques ∆p = 1 r ∂ ∂r µ r∂p ∂r ¶ + 1 r2 ∂2p ∂θ2 + ∂2p ∂z2 – en coordonn´ ees sph´ eriques ∆p = 1 r2 ∂ ∂r µ r2 ∂p ∂r ¶ + 1 r2 sin θ ∂ ∂θ µ sin θ∂p ∂θ ¶ + 1 r2 sin2 θ ∂2p ∂φ2 1.1.4 L’op´ erateur rotationnel Le produit vectoriel de l’op´ erateur ”nabla” ∇par un vecteur d´ eﬁnit le rotationnel du vecteur. Le rotationnel (´ egalement not´ e rot4) d’un vecteur est un vecteur. Pour le vecteur v, il s’´ ecrit : 2Pour 2 vecteurs u =   ux uy uz  et v =   vx vy vz  , le produit scalaire u.v =   ux uy uz  .   vx vy vz  = uxvy + uxvy + uzvz ; donc ∇.v =   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z  .   vx vy vz  = ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z (∇se comporte comme un vecteur ordinaire.) 3En eﬀet, ∆= ∇2 = ∇.∇=   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z  .   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z  = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 4En gras puisqu’il s’agit d’un vecteur. 1.1 El´ ements d’analyse vectorielle 117 – en coordonn´ ees cart´ esiennes5 ∇∧v = rot v = µ∂vz ∂y −∂vy ∂z ¶ ex + µ∂vx ∂z −∂vz ∂x ¶ ey + µ∂vy ∂x −∂vx ∂y ¶ ez – en coordonn´ ees cylindriques ∇∧v = rot v = µ1 r ∂vz ∂θ −∂vθ ∂z ¶ er + µ∂vr ∂z −∂vz ∂r ¶ eθ + 1 r µ∂(rvθ) ∂r −∂vr ∂θ ¶ ez – en coordonn´ ees sph´ eriques ∇∧v = rot v = 1 r sin θ µ∂(sin θvφ) ∂θ −∂vθ ∂φ ¶ er+1 r µ 1 sin θ ∂vr ∂φ −∂(rvφ) ∂r ¶ eθ+1 r µ∂(rvθ) ∂r −∂vr ∂θ ¶ eφ 1.1.5 Quelques relations de base p et q ´ etant des scalaires et u et v ´ etant des vecteurs, ∇.(pv) = (v.∇)p + p(∇.v) ∇.(pq) = q(∇p) + p(∇q) ∇.(uv) = (u.∇)v + v(∇.u) ∇.(∇∧u) = 0 soit div(rot u) = 0 ∇∧(∇p) = 0 soit rot(grad p) = 0 ∇∧(pv) = (∇p) ∧v + p(∇∧v) ∇.(u ∧v) = (∇∧u).v + (∇∧v).u soit div(u ∧v) = rot u.v + rot v.u ∇∧(u ∧v) = u(∇.v) −v(∇.u) + (v.∇)u −(u.∇)v ∇∧(∇∧v) = ∇(∇.v) −∇2v soit rot(rot v) = grad(div v) −∆v Si ∇∧u = 0, alors ∇.u = −∆ψ (o` u ψ est un scalaire). Autrement dit, un champ ` a rotationnel nul d´ erive d’un potentiel scalaire ψ. Si ∇.u = 0, alors u = ∇∧v ` a un gradient pr` es. Un champ ` a divergence nulle peut s’´ ecrire comme le rotationnel d’un vecteur. 1.1.6 Formules de GreenZZZ V grad f dV = ZZ S fn dS ZZZ V div v dV = ZZ S v.n dS La premi` ere formule est la formule du gradient ; elle permet par exemple de relier la force de pression exerc´ ee sur une surface au gradient de pression dans la masse du ﬂuide. La seconde formule est la formule d’Ostrogradski, tr` es utile pour exprimer le ﬂux d’une quantit´ e ` a travers une surface par une int´ egrale volumique 5Pour 2 vecteurs u =   ux uy uz  et v =   vx vy vz  , le produit vectoriel u ∧v =   ux uy uz  ∧   vx vy vz  =   uyvz −uzvy uzvx −uxvz uxvy −uyvx  ; donc ∇∧v =   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z  ∧   vx vy vz  =    ∂vz ∂y −∂vy ∂z ∂vx ∂z −∂vz ∂x ∂vy ∂x −∂vx ∂y    118 Chapitre 1 : Rappels math´ ematiques 1.1.7 Formule de Stokes-Amp` ere ZZ S rot v.n dS = I C v.dl o` u S d´ esigne une surface s’appuyant sur le contour C. 1.2 Rappels sur les tenseurs d’ordre 2 Pour ´ ecrire les ´ equations de Navier-Stokes on peut faire appel ` a la notion de tenseur, en se limitant ` a l’ordre 2. On se contente donc de pr´ esenter quelques propri´ et´ es des tenseurs d’ordre 2. Dans ce cadre, on peut voir le tenseur d’ordre 2 comme une matrice 3×36. Ceci n’est pas abusif tant que l’on garde ` a l’esprit qu’il existe une d´ eﬁnition plus g´ en´ erique et que la r´ epr´ esentation matricielle d´ epend du syst` eme de coordonn´ ees choisi. 1.2.1 Tenseur gradient D´ eﬁnition Il permet d’exprimer la variation d’un champ de vecteur v entre 2 points voisins x et x + dx (de la mˆ eme fa¸ con que le gradient exprime les variations d’un scalaire entre ces deux points). dv = v(x + dx) −v(x) = grad v ⊙dx En coordonn´ ees cart´ esiennes, on v´ eriﬁera qu’il s’exprime par : grad v =        ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z        avec v =   u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z)   Applications Le tenseur gradient s’av` ere pratique pour exprimer la d´ eriv´ ee particulaire d’une grandeur vectorielle v dans un ´ ecoulement de champ de vitesse u : dv dt = ∂v ∂t + grad v ⊙u On ´ ecrit parfois cette relation sous la forme : dv dt = ∂v ∂t + (u.∇)v avec un ”produit scalaire” qui est plus simple sur le plan formel mais devient faux en co- ordonn´ ees curvilignes (cylindriques, sph´ eriques ...). La notation tensorielle poss` uploads/Industriel/ rappel-math 1 .pdf