UE-FGI-LIC-304 Université de Douala Faculté de Génie Industriel Analyse Spectra

UE-FGI-LIC-304 Université de Douala Faculté de Génie Industriel Analyse Spectrale Année académique 2009-2010 Patrick NJIONOU, S pnjionou@yahoo.fr Chapitre 1 Transformation de Fourier des Fonctions et des distributions Soit f une fonction (ou un signal) périodique de fériode T. Joseph Fourier, mathématicien français, affirma dans un mémoire daté de 1807, qu’il était possible, dans certaines conditions, de décomposer un signal périodidue f sous la forme d’une somme infinie de signaux sinusoïdaux. Ainsi on a, dans certaine conditions (par exemple si f est de classe C1 par morceaux) : f(t) = a0 + +∞ X n=1 an cos nωt + bn sin nωt, ω = 2π T . On peut donc considérer f comme la somme : – d’un terme constant a0 – d’un nombre infini de termes sinusoïdaux appelés harmoniques. L’harmonique de rang n est un(t) = An cos(nωt) + bn sin(nωt). On peut encore l’écrire sous la forme un(t) = An cos(nωt −ϕn) avec An = p a2 n + b2 n et tan(ϕn) = bn an ( si an ̸= 0) An représente l’amplitude, 2π nω la période, ϕn la phase et nω 2π la fréquence. Remarque 1.1. Si on utilise les coefficients de Fourier complexes, on obtient alors une décomposition : f(t) = +∞ X n=−∞ cneinωt avec cn coefficient de Fourier complexes de f. 1 Njionou P,S Université de Douala Pour une fonction périodique f, on obtient une relation de la forme f(t) = +∞ X n=−∞ cneinωt (1.1) qui peut être interpretée comme la décomposition du signa f sur la famille de fonctions (einωt)n∈Z jouant un rôle analogue à celui d’une base. Pour une fonction f qui n’est pas périodique, il est évidemment exclu d’utiliser la relation (1.1). On introduit alors une nouvelle notion : la transformée de Fourier. 1.1 Définitions et propriétés Définition 1.1. On note L1(R) l’ensemble des fonctions définies de R dans R, continues par morceaux et telles que : Z +∞ −∞ |f(t)|dt existe. Exemple 1.1. La fonction f(t) = 1 1+t2 est un élément de L1(R). On a en effet R +∞ −∞|f(t)|dt = 2 lim x→+∞arctan(x) = π. Définition 1.2. 1. Soit f ∈L1(R), on appelle transformée de Fourier de f la fonction F(f) : R → C telle que F(f)(s) = Z +∞ −∞ e−2πistf(t)dt. 2. L’application F : f 7→F(f) est appelée transformation de Fourier. 3. La courbe d’équation y(s) = |F(f)(s)| est appelée spectre de f. Remarque 1.2. 1. ∀s ∈R, |e−2πistf(t)| = |f(t)| dons la fonction F(f) est définie et bornée sur R. On admettra que F(f) est continue sur R. 2. On démontre que lim |s|→+∞|F(f)(s)| = 0. Proposition 1.1. 1. Si f est paire, alors F(f)(s) = 2 R +∞ 0 f(t) cos(2πst)dt. 2. Si f est impaire, alors F(f)(s) = −2i R +∞ 0 f(t) sin(2πst)dt. Démonstration. La preuve découle du fait que e−2πist = cos(2πst) −i sin(2πst) et que si f est paire la fonction s 7→f(t) cos(2πst) est paire et s 7→f(t) sin(2πst) est impaire. 1.2 Exemples de transformées Exemple 1.2 (Signal "porte"). . La fonction "porte" noté Π est définie par :  Π(t) = 1 si t ∈[−1 2; 1 2] Π(t) = 0 si t / ∈[−1 2; 1 2] . Comme f est paire, alors on a : Faculté de génie industriel 2 Analyse Spectrale, 2009-2010 Njionou P,S Université de Douala – si s = 0, F(Π)(0) = 2 R 1/2 0 1dt = 1. – si s ̸= 0, F(Π)(s) = 2 Z 1/2 0 Π(t) cos(2πst)dt = 2 sin 2πst 2πs 1/2 0 = sin πs πs . En conclusion la transformée de Fourier de la fonction "porte" Π est la fonction définie de R dans R par : F(Π) : s 7→sin πs πs . Cette fonction s’appelle sinus cardinal. Exemple 1.3 (Fonctions impulsions). . Ces fonctions notées ΠT sont définies par :  ΠT(t) = 1 T si t ∈[−T 2 ; T 2 ] ΠT(t) = 0 si t / ∈[−T 2 ; T 2 ] où T est un nombre réel strictement positif. On vérifie aisément que ΠT(t) = 1 T Π( t T ) où Π est la fonction "porte". En posant u = t T , on obtient facilement F(ΠT)(s) = sin πsT πsT . Exemple 1.4 (Fonctions exponetielles). . Soit a > 0, f : s 7→e−a|t|. La fonction f est paire et on a F(f)(s) = 2 Z +∞ 0 e−at cos 2πstdt. Une double intégration par parties conduit à F(f)(s) = 2a a2 + 4π2s2. 1.3 Propriétés de la transformée de Fourier Proposition 1.2 (Linéarité). Soient f, g deux signaux stables et λ, µ ∈C, alors F(λf + µg) = λF(f) + µF(g). Proposition 1.3 (Transformée d’une dérivée). Si f est continue et si f ′ = d f dt ∈L1(R), alors : F(f ′) : s 7→2iπsF(f)(s). Démonstration. On a : F(f ′)(s) = Z +∞ −∞ e−2iπstf ′(t)dt = [e−2iπstf(t)]+∞ −∞+ 2πis Z +∞ −∞ e−2iπstf(t)dt = 2πisF(f)(s). Faculté de génie industriel 3 Analyse Spectrale, 2009-2010 Njionou P,S Université de Douala Proposition 1.4 (Règle de multiplication par t). Si la fonction t 7→tf(t) est un signal stable, alors on a : d ds(F(f)) : s 7→−2iπF(tf(t))(s). La notation abusive F(tf(t)) représente la transformée de Fourier de t 7→tf(t). Démonstration. Supposons que t 7→tf(t) est un signal stable. Alors : d ds(F(f))(s) = Z +∞ −∞ d ds(e−2iπstf(t))dt = −2iπ Z +∞ −∞ (e−2iπsttf(t))dt = −2iπF(tf(t))(s). Soit a un réel. On pose ∀t ∈R, τaf(t) = f(t −a). τa est la translaté du signal f, si a > 0, on dit que le signal a "retarde" de a. Proposition 1.5 (Image d’une tanslaté (formule du retard si a > 0)). Soit a un réel, on a : F(τaf) : s 7→e−2iπasF(f)(s). Démonstration. Soit f un signal stable et a un nombre réel. On a : F(τaf)(s) = Z +∞ −∞ e−2iπstf(t −a)dt = Z +∞ −∞ e−2iπs(t+a)f(t)dt = e−2iπsaF(f)(s). Proposition 1.6 (Translation de l’image). Soit a un réel. On a : F(e2iπatf(t)) : s 7→F(f)(s −a). La notation abusive F(e2iπattf(t)) représente le transformée de Fourier de la fonction t 7→e2iπattf(t). Démonstration. Soit a un réel. F(e2iπatf(t)) = Z +∞ −∞ e−2iπste2iπatf(t)dt = Z +∞ −∞ e−2iπ(s−a)tf(t)dt = F(f)(s −a). Proposition 1.7 (Changement d’échelle). Soit ω > 0. F(f(ωt)) : s 7→1 ωF( s ω). Démonstration. Soit ω > 0. Si on pose u = ωt, alors on a F(f(ωt))(s) = Z +∞ −∞ e−2iπstf(ωt)dt = 1 ω Z +∞ −∞ e−2iπ s ω uf(u)du = 1 ωF( s ω). Faculté de génie industriel 4 Analyse Spectrale, 2009-2010 Njionou P,S Université de Douala Définition 1.3. Soit f et g deux signaux, on appelle produit de convolution de f et g et on note f ⋆g le signal défini par f ⋆g(t) = Z +∞ −∞ f(u)g(t −u)du. Remarque 1.3. Lorsqu’ils sont bien définis, f ⋆g = g ⋆f. Lemme 1.1. Si f et g sont des signaux stables, alors f ⋆g est un signal stable. Démonstration. Soit f et g deux signaux stable. Soit t ∈R, alors f ⋆g(t) = R +∞ −∞f(u)g(t −u)du donc Z +∞ −∞ |f ⋆g(t)|dt = Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ f(u)g(t −u)du dt ≤ Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ |f(u)||g(t −u)|dudt ≤ Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ |g(t −u)|dt  |f(u)|du ≤ N1(f)N1(g) < +∞ donc f ⋆g est un signal stable. Comme la convolution de deux signaux stable est un signal stable, on peut parler de transformée de Fourier du produit de convolution de deux signaux stables et on a le résultat suivant : Proposition 1.8. Soit f et g deux signaux stables. Alors F(f ⋆g) = F(f) × F(g). Démonstration. Soit f et g deux signaux stables, alors f ⋆g est un signal stable F(f ⋆g)(s) = Z +∞ −∞ e−2iπst(f ⋆g)(t)dt = Z +∞ −∞ e−2iπst Z +∞ −∞ f(u)g(t −u)du  dt = Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ e−2iπstf(u)g(t −u)dudt = Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ e−2iπs(t+u)f(u)g(t)dudt = Z +∞ −∞ e−2iπstg(t)dt  Z +∞ −∞ e−2iπsuf(u)du  = F(f)(s)F(g)(s). Faculté de génie industriel 5 Analyse Spectrale, 2009-2010 Njionou P,S Université de Douala 1.4 Transformée de Fourier inverse Définition 1.4. Soit f un signal stable. On appelle transformée de Fourier conjugué (ou inverse) de la fonction f la fonction F(f) : R →C définie par F(f)(s) = Z +∞ −∞ e2iπstf(t)dt. On admet le théorème suivant : Théorème 1.1. Si f et F(f) sont dans L1(R), alors F(F(f))(t) = 1 2[f(t + 0) + f(t −0)] où f(t + 0) et f(t −0) représentent la limite à droite et à gauche en t. Si de plus f est continue, alors F(F(f))(t) = f(t) et on peut écrire F(f)(s) = Z +∞ −∞ e−2iπstf(t)dt ⇔f(t) = Z +∞ −∞ e2iπstF(f)(s)ds. 1.5 Exercices Exercice 1.1. Déterminer la transformée de Fourier de la fonction ∧définie par : ∧(t) = 1 −|t| si t ∈[−1; 1] et ∧(t) = 0 ailleurs. Exercice 1.2. On reprend la fonction ∧de l’exercice précédent. 1. Calculer la dérivée de uploads/Industriel/ chapitre-1-analse-spectrale-2009-2010.pdf

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Industrielfonction fourier alors transformée signal
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