Travaux dirigés avec notes de cours. Séries chronologiques. Licence de Probabil

Travaux dirigés avec notes de cours. Séries chronologiques. Licence de Probabilités-Statistiques. Troisième année Enseignant: Salim Ladjouze 11 mai 2020 Préambule : L'enseignement de la Matière "Séries chronologiques" a pour objet l'analyse statistique, la modélisation et la prévision des séries chronologiques via les processus ARMA. Il consiste en 4.5 heures hebdomadaires pour un semestre, répar- ties en 2 séances de Cours (3 heures) plus une séance de TD (1h30 par groupe) et la programmation de plusieurs séances de TP. Cette série de TD est téléchargeable via l'adresse de votre section à partir du 20 mars 2020. On donne aussi, dans les références ci-dessous, une bibliographie pour tout le pro- gramme de la matière dont certains polycopiés sont téléchargeables. Les logiciels de travail, fortement conseillés, sont le Langage R (gratuit et téléchargeable sur site) et, dans une moindre mesure, l' ITSM-Student. L'étudiant est invité à s'habituer aux vocables anglais et à prendre note du lexique suivant. Lexique bilingue : Fonction d'autocorrélation : autocorrelation function [abbrev. "acf"]. Fonc- tion d'autocorrélation partielle : partial autocorrelation function [abbrev. "pacf"]. Corrélogramme (estimateur de l'acf) : Sample autocorrelation function [abbrev. "sample acf"]. Corrélogramme partiel (estimateur du pacf) : Sample partial autocorrelation function [abbrev. "sample pacf"]. Références [1] Yves Tillé. Résumé du Cours de séries temporelles. Polycopié. 72 pages. 18 janvier 2004 [2] Marc Lavielle. Cours de séries chronologiques. Université Paris Sud. polycopié. 55p [3] Marc Lavielle. Statistique des processus et applications. Université Paris Sud. polycopié. 52p [4] M.C Viano & A. Philippe. Cours de Séries Temporelles. Maîtrise d'Économétrie. polycopié. 67p. UST de Lille. 1999 à 2004 [5] A. Charpentier. Cours de Séries Temporelles. Théorie et applications. DESS Actuariat. Université Paris Dauphine. polycopié. 178p [6] R. von Sachs & S. Van Bellegem. STAT2414. cours de séries chronologiques. polycopié.211p. Université Catholique de Louvain. 2005 ⋆page 2 Table des matières 1 Contenu du Programme 3 2 Premiers exercices 4 3 Autres exercices 7 4 Edition Spéciale 10 5 Annexes : Notes de cours 11 A Statistique et statistiques . . . . 11 A.1 En guise de dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 A.2 Deux grandes branches en Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 A.3 Raisonnement inductif et Statistique inférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B Introduction aux Séries chronologiques 12 B.1 Aspects généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B.2 Approche traditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B.3 Analyse préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 C Le problème de prédiction dans l'espace L2 (Ω, ℑ, P) 14 D Deux processus non-stationnaires : les processus TS et DS 15 D.1 processus TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 D.2 processus DS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 D.3 Filtre aux diérences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 E Note sur les comportement de quelques processus usuels : 16 Licence de Probabilités-Statistiques. Troisième année. Faculté des Mathématiques. Usthb 1 Contenu du Programme ⋆page 3 1 Contenu du Programme 1. Rappels et compléments (a) Rappels et compléments de Probabilités ( Covergences stochastiques ...) (b) Rappels et compléments de Statistiques (Histogrammes, Skewness et Kurtosis, Ré- gression, Tests statistiques et P-Value ...) (c) Sur le langage R. Le logiciel ITSM. Autres langages spéci ques aux séries chronolo- giques 2. Introduction (a) Aspects généraux (b) Approche traditionnelle et approche dynamique (c) L'analyse descriptive préliminaire 3. L'analyse traditionnelle des séries chronologiques (a) Modèles (shémas) de décomposition classiques tendance/saisonnalité (b) Modèles prédictifs (Holt, Winters, ...) 4. Processus stochastiques : notions fondamentales (a) Processus : généralités (b) Processus du 2i` eme ordre  Premières notions. L'espace de Hilbert L2 (Ω, ℑ, P)  Le problème de prédiction  Note : le processus gaussien centré (c) Présentation des processus stationnaires du 2i` eme ordre  Premières notions. Exemples usités de processus stationnaires  Théorème de Herglotz. L'aspect fréquentiel des processus stationnaires  Théorème de Wold  Causalité et Inversibilité des processus ARMA (d) Deux processus non-stationnaires : les processus TS et les processus DS 5. Estimation non-paramétrique au 2i` eme ordre d'un processus stationnaire (a) Estimation de l'espérance mathématique et de la fonction de covariance (b) Le périodogramme. Sur l'estimation de la densité spectrale 6. Estimation du processus ARMA(p,q) (a) Estimation d'un processus AR(p) par la méthode de Yule-Walker (b) Estimation du processus ARMA(p,q) par la méthode du MV 7. Modélisation ARMA et prédiction (a) La construction de modèle selon Box & Jenkins (b) Identi cation du modèle (c) Estimation du processus ARMA. Tests sur les paramètres estimés (d) Adéquation : Tests of randomness  Tests sur le bruit blanc  Choix par critères d'information (e) Prédiction d'un processus ARMA(p,q) (f) What next ? 8. Etude de cas concrets Séries Chronologiques. Travaux dirigés & notes de cours ⋆page 4 2 Premiers exercices Exercice 1 Décrire les séries suivantes représentées par leurs time-plots : Figure 1  time plot de la série airpass data Figure 2  time plot de la série wine data Figure 3  time plot de la série lynx data Exercice 2 Soit {X (1) , X (2) , ..., X (N)} une série chronologique de longueur N. On désire ajuster une courbe véri ant f (t) = k 1 + b exp (−at), a, b, k ≻0 (1) 1. On pose g (t) = 1/f (t). (a) Démontrer la relation g (t + 1) = βg (t) + α où α et β sont à déterminer. (b) Calculer alors k et a. Et b ? 2. Comment pourrait-on véri er la validité d'un ajustement du modèle (1) à cette série (a) d'abord graphiquement Licence de Probabilités-Statistiques. Troisième année. Faculté des Mathématiques. Usthb 2 Premiers exercices ⋆page 5 (b) ensuite par un calcul. Exercice 3 Décrire les séries de données algériennes suivantes représentées par leurs time-plots : Figure 4  time plot de la série pointe du soir de Sonelgaz Figure 5  time plot de la série pluviométrique d'Oran Figure 6  time plot de la série ipc-alger Exercice 4 On veut ajuster par un shéma additif la série suivante {7.4, 4.4, 3.3, 7.6, 3.9, 2.4, 6.9, 4.5, 2.7, 8.2, 4.1, 3.0, 7.5, 3.5, 2.8} Un logiciel donne la suite de résultats suivants : Data : Sample Mean = 4.8133. Std.Error = .220428 Tendance a ne (droite de régression) : X(t) = −.011161 ∗t + 4.9026 Série détendanciée : Sample Mean = −.2961E −15. Std.Error = .206506 Coe cients saisonniers Si(période= 3) : S1 = 2.7528 S2 = −0.73056 S3 = −2.0222 Résidus du modèle : Sample Mean = .7105E −15. Std.Error = .096887 1. Expliquer et commenter chaque étape de la procédure mise en oeuvre. 2. Analyser le time plot de la série. Ajuster un modèle plus simple (à tendance constante). Séries Chronologiques. Travaux dirigés & notes de cours ⋆page 6 3. Retrouver les résultats précédents en utilisant le langage R 1. Exercice 5 On considère les opérations ∇p et ∇s dé nies sur les entiers par les relations ∇1X (t) = ∇X (t) = X (t) −X (t −1) , ∇pX (t) = ∇p−1 (∇X (t)) , p ≥2; ∇s X (t) = X (t) −X (t −s) , s ≥2. 1. Quel est l'eet des opérateurs ∇et ∇2 sur (a) une fonction a ne ? (b) une fonction quadratique ? 2. A quel(s) usage(s) les opérateurs ∇p et ∇s peuvent-ils servir ? Problème 1 (Analyse traditionnelle) Soit {X (1) , X (2) , ..., X (N)} une série chronologique trimestrielle de longueur N ; elle est enregistrée dans le tableau à double entrée suivant : ⧹ 1 2 3 4 1993 2 7 12 7 1994 6 7 16 11 1995 8 12 18 uploads/Industriel/ serie-td-ts-3lps-edition-speciale-2020.pdf

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