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UCAO-UUT / EITEC Année 2017-2018 Licence Mathématiques et Statistique / 2ème an

UCAO-UUT / EITEC Année 2017-2018 Licence Mathématiques et Statistique / 2ème année Travaux dirigés de Statistique inférentielle 1 Issa C. Geraldo Chapitre 1 : Echantillonnage Exercice 1 (Table de la loi χ2 n). Soit X une variable aléatoire de loi χ2 n. On donne n = 20. 1) Déterminer x tel que P(X ⩽x) = 0.05. 2) Déterminer y tel que P(X ⩾y) = 0.05. Exercice 2 (Table de la loi de Student ST(n)). Soit X une variable aléatoire de loi ST(n). 1) On donne n = 15. (a) Déterminer t1 et t2 tels que P(X < t1) = 0.9 et P(X > t2) = 0.8. (b) Déterminer t3 tel que P(|X| > t3) = 0.05. 2) On donne n = 200. Déterminer t4 tel que P(|X| > t4) = 0.05. Exercice 3 (Table de la loi de Fisher-Snedecor F(n1, n2)). Soit X une variable aléatoire de loi ST(15). 1) On donne n1 = 4 et n2 = 20. Déterminer x tel que P(X < x) = 0.975. 2) On donne n1 = 30 et n2 = 10. Déterminer y tel que P(X < y) = 0.05. Exercice 4. Une usine fabrique des ampoules dont la durée de vie moyenne est de 1000 H avec un écart-type de 100 H. On suppose que la durée de vie des ampoules est distribuée normalement. 1) Calculer la probabilité pour que dans un échantillon de taille 25, la moyenne de l’échan- tillon soit comprise entre 960 H et 1020 H ? plus de 1000 H ? 2) Quelle doit être la taille de l’échantillon si l’on veut que la durée de vie moyenne de l’échantillon ne diﬀère pas de la moyenne de la population de plus de 25 H avec une probabilité de 95% ? Exercice 5. On considère une urne contenant deux boules blanches et quatre boules bleues dans laquelle on eﬀectue n tirages avec remise. A chaque tirage i ∈{1, . . . , n}, on associe la variable aléatoire Xi qui vaut 1 si la boule tirée est blanche et 0 sinon. 1) Montrer que ¯ Xn converge presque-sûrement vers une constante à préciser. 2) En utilisant le théorème limite central, déterminer le nombre minimum de tirages à ef- fectuer pour avoir P(| ¯ Xn −1/3| > ε) = α où ε = 0.02 et α = 0.01. 2 Chapitre 2 : Estimation ponctuelle Exercice 6. Soient (X1, . . . , Xn) un n−échantillon de la loi uniforme sur l’intervalle [0, θ] (le paramètre θ > 0 étant inconnu). On désire estimer θ. 1) (a) Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) de θ est T = max(X1, . . . , Xn). (b) Déterminer la fonction de répartition de T puis sa densité et calculer E(T) et Var(T). (c) L’EMV de θ est-il sans biais ? convergent ? (d) A partir de T, construire un estimateur sans biais ˆ θ1 de θ. 2) (a) Déterminer l’estimateur de θ par la méthode des moments (EMM) noté ˆ θ2. (b) Montrer que l’EMM de θ est sans biais et convergent. 3) Lequel des deux estimateurs ˆ θ1 et ˆ θ2 choisiriez-vous pour estimer θ ? Exercice 7. La durée de fonctionnement d’un matériel électrique est représentée par une variable aléatoire réelle X suivant une loi de Weibull de densité f(x; θ, λ) = λ θ xλ−1 exp −xλ θ ! 1]0,+∞[(x) où θ > 0 est inconnu et λ > 0 est supposé connu. On cherche à estimer θ. 1) Déterminer la loi de Y = Xλ puis calculer E(Xλ) et Var(Xλ). 2) On considère un échantillon (X1, . . . Xn) de variable parente X. Déterminer l’EMV ˆ θ de θ. Cet estimateur est-il sans biais ? convergent ? eﬃcace ? Exercice 8. Soit X1, . . . , Xn un échantillon aléatoire simple issu d’une population de den- sités : ∀x ∈]0, 1[, fθ(x) = θ 1 −θx 2θ−1 1−θ , où 1/2 < θ < 1. Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ θ de θ. Exercice 9. Soit X1, . . . , Xn un échantillon aléatoire issu de la loi de densité fθ(x) = ( e−(x−θ) si x > θ, 0 sinon où le paramètre θ > 0 est inconnu. 1) Déterminer l’estimateur ˆ θ1 de θ par la méthode des moments. 2) Déterminer l’estimateur ˆ θ2 de θ par la méthode du maximum de vraisemblance (on prêtera attention au fait que le support de f dépend de θ). 3 4 Chapitre 2. Estimation ponctuelle 3) Corriger ˆ θ1 et ˆ θ2 pour qu’ils soient sans biais. Comparer les variances des deux estimateurs corrigés. Lequel est le plus eﬃcace ? Exercice 10. On considère une variable aléatoire (v.a.) X de loi de Pareto 1 de paramètre α dont la densité est donnée par f(x) = α xα+1 1[1,+∞[(x) où α > 1 est un paramètre inconnu. On note X ∼P(α). 1) Soit (X1, . . . , Xn) un n−échantillon de la loi P(α). Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de α s’écrit ˆ α = n Pn i=1 ln Xi . 2) Montrer que la v.a. Z = ln X suit une loi exponentielle dont on déterminera le paramètre. 3) En utilisant les fonctions caractéristiques, montrer que la v.a. U = Pn i=1 Zi = Pn i=1 ln Xi suit une loi Gamma de paramètres α et n. 4) Déterminer l’espérance mathématique et la variance de la v.a. 1 U (on pourra eﬀectuer le changement de variable v = αu). 5) Montrer que l’EMV ˆ α est biaisé et en déduire un estimateur sans biais de α noté e α. 6) L’estimateur e α est-il l’estimateur eﬃcace de α ? 1. Du nom de l’économiste italien Vilfredo Pareto (1848-1923) Chapitre 3 : Estimation par intervalles de conﬁance Exercice 11. On a mesuré la consommation en essence de 41 voitures équipées d’un car- burateur standard et obtenu une moyenne de 8.1 km/litre avec un écart-type corrigé de 1.2 km/l. On choisit au hasard 21 voitures qu’on équipe d’un carburateur spécial et on relève la consommation. On obtient une moyenne de 8.8 km/l avec un écart-type corrigé de 0.9 km/l. On suppose que la consommation est distribuée suivant une loi normale et on néglige l’interaction entre le type de carburateur et les autres composantes de la voiture. 1) Déterminer un intervalle de conﬁance de niveau 95% du rapport des variances. En déduire qu’avec un risque de 5%, on peut supposer les variances égales. 2) Déterminer un intervalle de conﬁance de niveau 95% de la diﬀérence des moyennes. 3) Peut-on dire que le nouveau carburateur diminue la consommation d’essence ? Exercice 12. Une entreprise fabriquant des ampoules aﬃrme que ses lampes fonctionnent en moyenne 800 heures avant de griller. Cependant plusieurs consommateurs se sont plaint à l’association des consommateurs que les aﬃrmations de ladite entreprise sont exagérées. L’association des consommateurs achète et teste 100 ampoules auprès de ladite entreprise. Elle obtient une durée moyenne de fonctionnement de 745.1 heures avec un écart-type corrigé de 238 heures. 1) Déterminer un intervalle de conﬁance de niveau 95% de la durée moyenne de fonctionne- ment. 2) La plainte des consommateurs est-elle fondée ? Exercice 13. Dans une chaîne de fabrication de composantes électriques, on suppose que dans les conditions normales, 2.4% des composantes fabriquées sont défectueuses. Aﬁn de contrôler la production, on prélève toutes les heures un échantillon de 18 composantes et on relève le nombre de composantes défectueuses. Si ce nombre est trop élevé, la production est arrêtée et des réglages sont eﬀectués. 1) Quelle est la loi du nombre de composantes défectueuses dans un échantillon ? 2) Déterminer le niveau de conﬁance des intervalles de conﬁance [0, 2] et [0, 3] pour le nombre de composantes défectueuses. 3) Quel est au risque 1%, le nombre minimal de composantes défectueuses à partir duquel la chaîne de production doit être arrêtée ? Et au risque 5% ? Exercice 14. Une ville a l’opportunité de faire installer la télévision par câble dans tous ses immeubles. L’opération ne sera rentable que si au moins 40% des habitants concernés s’abonnent. La municipalité a eﬀectué un sondage sur 400 personnes, parmi lesquelles 175 ont déclaré vouloir s’abonner au câble. Au vu de ce sondage, que conseillez-vous à la muni- cipalité ? 5 6 Chapitre 3. Estimation par intervalles de conﬁance Exercice 15 (Echantillons appariés). On a procédé au test d’un nouveau traitement destiné à diminuer la pression artérielle chez un groupe de 10 sujets. Les résultats (valeur de la tension artérielle systolique en cmHg) ont été relevés sur les 10 sujets et sont présentés dans le tableau ci-dessous. On suppose que la tension artérielle suit une loi normale. Sujet no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Avant traitement 15 18 17 20 21 18 17 15 19 16 Après traitement 12 16 17 18 17 15 18 14 16 18 Dans ce cas, on parle d’échantillons appariés (car les deux séries de mesures portent sur le même échantillon). uploads/Industriel/ statistique-inferentielle.pdf