ENIT 1ère année Probabilités et Statistiques Variables Aléatoires Exercice 1 Co

ENIT 1ère année Probabilités et Statistiques Variables Aléatoires Exercice 1 Connaissant la fonction de densité discrète f(x) = e−1 x! , x = 0, 1, 2, ... 1. Déterminer P(X = 2), 2. Calculer P(X < 2), 3. Démontrer que e−1 est la constante pour laquelle la fonction c/x! est une densité de probabilité. 4. A quelle condition portant sur α, pn = α λn n! n ≥0 sont-ils les coe cients d'une loi de probabilité, pour λ > 0 ? Exercice 2 Soit a un réel non nul. On considère la suite (un) dé nie par : ∀n ∈N, un = 1 8 2 + an n! Pour quelle valeur du réel a, la suite (un) dé nit-elle bien une loi de probabilité ? Exercice 3 On considère une urne contenant une boule blanche et deux boules noires identiques. On eectue deux tirages successifs dans cette urne, la première boule tirée étant remplacée par une boule de couleur diérente. On demande de construire l'ensemble fondamental Ωassocié à cette épreuve aléatoire, si l'on tient compte de l'ordre des tirages, et de déterminer la probabilité de chacun des évènements élementaires. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente le nombre de boules noires tirées. Exercice 4 Dans une urne, on place n boules portant des numéros 2 à 2 distincts. Un premier joueur eectue des tirages d'une boule sans remise jusqu'à ce qu'il obtienne la boule portant le plus grand numéro. On note X1 le nombre de tirages eectués par ce joueur. S'il reste des boules dans l'urne, un second joueur eectue la même expérience sur les boules restantes. On note X2 le nombre de tirages eectués par ce second joueur. 1. Déterminer la loi de probabilité de X1, 2. Déterminer la loi de probabilité de X2, conditionnée par X1. Exercice 5 Soit n un entier non nul. Dans une urne contenant initialement n boules numérotées 1 à n, on eectue deux tirages successifs d'une boule selon le protocole suivant : Si on note k (k ∈[1, n]) le numéro de la boule tirée au premier tirage, celle-ci est remise dans l'urne avec k boules supplémentaires portant toutes le numéro k ; on eectue alors un second tirage. On appelle X1 la variable égale au numéro de la boule tirée au premier tirage et X2, celle égale au numéro de la boule tirée au second tirage. 1. Déterminer la loi de probabilité de X1, 2. Déterminer la loi de probabilité de X2 et véri er que n X k=1 p(X2 = k) = 1 . Exercice 6 Une urne contient n boules blanches et n boules noires. On tire les boules au hasard et sans remise jusqu'à ce que l'on ait tiré la dernière boule blanche. Soit k le nombre total de boules tirées. 1. Déterminer la loi de probabilité de k, 2. En déduire la valeur de la somme. Sn = k=2n X k=n (k −1)! (k −n)! Exercice 7 Soit (Ai)i∈N une suite d'évènements indépendants, de même probabilité a (0 < a < 1), par exemple Ai = { obtenir 421 au i` eme lancer de trois dés } . Pour r entier ≥1, on note Nr la variable aléatoire réelle numéro du tirage où on obtient la r-ième réalisation d'un Ai, par exemple N3 est le tirage où 421 sort pour la troisième fois. 1. Quelle est la loi de probabilité de N1 ? 2. Quelle est la loi de probabilité de Nr ? 3. Calculer l'espérance 1 mathématique et la variance de Nr. Exercice 8 Une secrétaire eectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts (n ≥2). Pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant demandé est p appartennant à ]0, 1[ et la probabilité de ne pas l'obtenir est q. 1. Soit X le nombre de correspondants obtenus lors de ces n appels. Quelle est la loi de X ? Calculer l'espérance E(X) et la variance V (X). 2. Après ces n recherches, la secrétaire demande une deuxième fois chacun des n −X correspondants qu'elles n'a pas obtenus la première fois. Soit Y le nombre de correspondants obtenus dans la deuxième série d'appels, et Z = X + Y le nombre total de correspondants obtenus. (a) Quelles sont les valeurs prises par Z ? (b) Calculer : p0 = P(Z = 0), p1 = P(Z = 1), Montrer que p1 = npq2n−2(1 + q). (c) Calculer P(Y = h/X = k) pour k ∈[0, n] et h ∈[0, n −k]. (d) Démontrer P(Z = s) = Ps k=0 P[(X = k) ∩(Y = s −k)] (e) Calculer P(Z = s), véri er que Ck n Cs−k n−k = Cs n Ck s . En déduire que P(Z = s) = Cs n [p(1 + q)]s (q2)n−s (f) Montrer que p(1 + q) = 1 −q2 et reconnaître la loi suivie par Z. Exercice 9 Sur un espace probabilisé sont dé nies 2 variables aléatoires X et Y qui sont à valeurs dans N. Si X suit une loi de Poisson de paramètre λ et si la loi conditionnelle de Y sachant X = n est binomiale de paramètre (n, p), quelle est la loi de Y ? En déduire la loi conditionnelle de X −Y sachant Y = y. Exercice 10 Soit X une v.a.r. de densité f(x) = λ(1 −x2)1 I[−1,1](x). 1) Calculer λ, ainsi que la fonction de répartition FX. 2) Calculer P(|X| ≥1 2). 3) Calculer E(X) et V(X). 1. on pose ∞ X k=0 (1 −a)k+r−1 = (1 −a)r−1 a 2 Exercice 11 Soit α ∈R+ et X une v.a.r de densité fX(x) = α (x −1)2 1 I]−∞,0[(x) + αe−2x1 I[0,+∞[(x) 1) Calculer α puis la fonction de répartiton de X. 2) Soit la v.a.r Y = sgn(X) où sgn(x) = −1 si x < 0, sgn(x) = 1 si x > 0 et sgn(x) = 0 si x = 0. Déterminer la loi de Y . 3) Calculer E(Y ). La v.a.r X est-elle integrable ? 4) Soit la v.a.r Z = 2X + 3. Déterminer la loi de Z. Exercice 12 Soit U une v.a.r de loi uniforme sur [0, 1] (i.e. U([0, 1])) 1) Montrer que (1 −U) est aussi de loi U([0, 1]) . 2) Soit λ > 0. Déterminer la loi de X = −ln(U) λ . Exercice 13 1. La densité de probabilité de la variable aléatoire X est dé nie par : fX(x) =  λ e−x si x ≥θ 0 sinon où θ est un paramètre réel strictement positif. (a) Déterminer le paramètre λ en fonction de θ, (b) Calculer l'espérance mathématique et la variance de X, (c) Déterminer la fonction de répartition FX de X. 2. Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle E(α). (a) Déterminer la loi de la variable aléatoire Y = √ X. (b) Calculer l'espérance mathématique et la variance de Y . Exercice 14 Dans une usine qui produit des céréales pour le petit déjeuner, le processus mécanique de remplissage des boîtes a été ajusté de façon qu'en moyenne chaque boîte contienne 13 grammes de céréales. Naturellement, il peut y avoir une certaine variabilité et l'on sait que l'écart-type est de σ = 0, 1 gramme et que le processus suit une loi normale. 1) Calculer la probabilité que le contenu d'une boîte choisie au hasard soit compris entre 13 et 13.2 grammes. 2) Quelle est la probabilité pour que le contenu d'une boîte dépasse 13.25 grammes. Représenter l'aire sous la courbe normale qui correspond à cette hypothèse. 3)Quelle est la probabibilité que la masse soit comprise entre 12.9 et 13.1 grammes. 4) Quelle est la probabilité pour que le contenu d'une boîte soit compris entre 12.8 et 13.1 grammes. 5) Quelle est la probabibilité que la masse soit comprise entre 13.1 et 13.2 grammes. Exercice 15 Soit X une v.a.r de loi normale N(0, 1) et soient Y1 = |X| et Y2 = X2. 1) Calculer la densité de Y1 et E(Y1). 3) Calculer la densité de Y2 et E(Y2). 3 Loi Normale centrée réduite Probabilité de trouver une valeur inférieure à x. x f(x) 0 ∞ − ∞ + ( ) ∫∞ − − = x u du e x F 2 2 2 1 π X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 uploads/Industriel/ td2-proba.pdf

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