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Lycée JANSON DE SAILLY 4 décembre 2017 PROBABILITÉS Tle ES I PROBABILITÉS CONDI

Lycée JANSON DE SAILLY 4 décembre 2017 PROBABILITÉS Tle ES I PROBABILITÉS CONDITIONNELLES La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d’une expérience aléatoire, une information est fournie modiﬁant ainsi la probabilité d’un évènement. 1 DÉFINITION Soient A et B deux évènements d’un même univers tel que p(A) ̸= 0. La probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé se note p A(B) et on a : p A(B) = p (A ∩B) p(A) Remarque : Si p(B) ̸= 0 on déﬁnit de même pB(A) = p (A ∩B) p(B) . EXEMPLE Une usine produit des articles en grande quantité, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts possibles, un défaut de fabrication ou un défaut d’emballage. Une étude statistique a permis de constater que 12% des articles sont défectueux, 6% des articles ont un défaut de fabrication et 8% des articles ont un défaut d’emballage. Un article choisi au hasard présente un défaut d’emballage. Quelle est la probabilité qu’il ait aussi un défaut de fabrication? Notons F l’évènement « un article prélevé au hasard présente un défaut de fabrication » et E l’évènement : « Un article prélevé au hasard présente un défaut d’emballage ». — 12% des articles ont a un défaut de fabrication ou un défaut d’emballage d’où p (F ∪E) = 0,12. — 6% des articles ont un défaut de fabrication et 8% des articles ont un défaut d’emballage d’où p(F) = 0,06 et p(E) = 0,08. La probabilité qu’un article ait les deux défauts est : p (F ∪E) = p(F)+ p(E)−p (F ∩E) d’où p (F ∩E) = 0,08+0,06−0,12 = 0,02 La probabilité qu’un article ayant un défaut d’emballage ait aussi un défaut de fabrication est pE(F) = p (F ∩E) p(E) = 0,02 0,08 = 0,25 La probabilité qu’un article ayant un défaut d’emballage ait aussi un défaut de fabrication est égale à 0,25. 2 FORMULE DES PROBABILITÉS COMPOSÉES La relation déﬁnissant la probabilité conditionnelle peut s’écrire de la manière suivante p (A ∩B) = p A(B)× p(A) Cette écriture s’appelle la formule des probabilités composées Soient A et B deux évènements d’un même univers tels que p(A) ̸= 0 et p(B) ̸= 0. Alors : p (A ∩B) = p A(B)× p(A) = pB(A)× p(B) EXEMPLE 85 % d’une population est vaccinée contre une maladie. On a constaté que 2% des individus vaccinés n’ont pas été immunisés contre cette maladie. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 1 sur 14 Lycée JANSON DE SAILLY 4 décembre 2017 PROBABILITÉS Tle ES Quelle est la probabilité qu’un individu soit vacciné et malade? Soit V l’évènement : « Un individu est vacciné » et M l’évènement : « Un individu est malade »; Nous avons p(V ) = 0,85 et pV (M) = 0,02. La probabilité que parmi cette population, une personne soit vaccinée et malade est : p (V ∩M) = 0,02×0,85 = 0,017 II FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES 1 CAS DE DEUX ÉVÈNEMENTS Si A est un évènement de Ωtel que p(A) ̸= 0 et p(A) ̸= 1, alors pour tout évènement B de Ω p(B) = p(A ∩B)+ p(A ∩B) = p A(B)× p(A)+ p A(B)× p(A) Preuve : Les évènements A ∩B et A ∩B sont incompatibles et B = (A ∩B) ∪ ³ A ∩B ´ d’où p(B) = p (A ∩B)+ p(A ∩B) D’après la formule des probabilités composées p(B) = p A(B)× p(A)+ p A(B)× p(A) A A B ∩A B ∩A 2 PARTITION Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et {A1, A2, ..., An} un ensemble d’évènements de probabilités non nulles d’un même univers Ω. A1, A2, ..., An forment une partition de l’univers Ωsi, et seulement si, tout évènement élémentaire de Ωappartient à l’un des évènements Ai et à un seul. C’est à dire si, et seulement si, 1. Pour tous entiers i et j tels que 1 É i É n, 1 É j É n et i ̸= j, Ai ∩A j = ∅. 2. A1 ∪A2 ∪···∪An = Ω. Remarques : — Un évènement A de probabilité non nulle et son évènement contraire A forment une partition de Ω. — Si les évènements A1, A2, ··· , An forment une partition de Ωalors n X i=1 p(Ai) = p (A1)+ p (A2)+···+ p (An) = 1 3 FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES Soit n un entier supérieur ou égal à 2 si {A1, A2, ..., An} est une partition de Ωalors pour tout évènement B de Ω, p(B) = p(A1 ∩B)+ p(A2 ∩B)+···+ p(An ∩B) EXEMPLE Le parc informatique d’une entreprise est constitué d’ordinateurs de marques A, B ou C référencés au service de maintenance. 60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 15 % sont des portables. 30 % des ordinateurs sont de la marque B et 20 % d’entre eux sont des portables. Les autres ordinateurs sont de la marque C et 50 % d’entre eux sont des portables. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 2 sur 14 Lycée JANSON DE SAILLY 4 décembre 2017 PROBABILITÉS Tle ES On consulte au hasard la ﬁche d’un ordinateur, quelle est la probabilité que ce soit la ﬁche d’un ordinateur portable? Notons S l’évènement : « la ﬁche est celle d’un ordinateur portable » Les évènements A, B et C forment une partition de l’univers alors d’après la formule des probabilités totales : p(S) = p(A ∩S)+ p(B ∩S)+ p(C ∩S) = p A(S)× p(A)+ pB(S)× p(S)+ pC(S)× p(S) = 0,15×0,6+0,2×0,3+0,5×0,1 = 0,2 La probabilité que ce soit la ﬁche d’un ordinateur portable est 0,2. III REPRÉSENTATION SOUS FORME D’UN ARBRE PONDÉRÉ Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré dont chaque branche est affecté d’un poids qui est une probabilité. A B C p(A) p(B) p(C) R R pA(R) pA(R) S S pB (S) pB (S) T T pC (T ) pC (T ) — La racine de l’arbre est l’univers Ω — Les évènements qui se trouvent aux extremités des branches issues d’un même nœud forment une partition de l’évènement situé à ce nœud. Par exemple, {A,B,C} est une partition de l’univers Ωet {S,S} est une partition de l’évènement B. — Un chemin complet qui conduit à un sommet ﬁnal, représente l’intersection des évènements qui le composent. Par exemple, le chemin dont l’extrémité est R représente l’évènement A ∩R. — Le poids d’une branche primaire est la probabilité de l’évènement qui se trouve à son extrémité. Le poids d’une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l’évènement qui se trouve à son extrémité sachant que l’évènement qui se trouve à son origine est réalisé. RÈGLES — La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1. — La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités ﬁgurant sur ses branches. — La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités de tous les chemins menant à un sommet où apparaît cet évènement. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 14 Lycée JANSON DE SAILLY 4 décembre 2017 PROBABILITÉS Tle ES A B B A B B p(A) pA(B) pA(B) = 1−pA(B) p(A) = 1−p(A) pA(B) pA(B) = 1−pA(B) PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS COMPOSÉES p (A ∩B) = p A(B)× p(A) p ³ A ∩B ´ = p A(B)× p(A) p ³ A ∩B ´ = p A(B)× p(A) p ³ A ∩B ´ = p A(B)× p(A) PROBABILITÉS TOTALES p(B) = p (A ∩B)+ p ³ A ∩B ´ p(B) = p ³ A ∩B ´ + p ³ A ∩B ´ IV ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS 1 INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS Dire que deux évènements évènements A et B sont indépendants signiﬁe que : p (A ∩B) = p(A)× p(B) Dire que deux évènements sont indépendants signiﬁe que la réalisation de l’un ne modiﬁe pas la réalisation de l’évènement de l’autre. 2 PROPRIÉTÉ Si p(A) ̸= 0 et p(B) ̸= 0 on a les équivalences : A et B indépendants ⇔pB(A) = p(A) ⇔p A(B) = p(B) Preuve : Si p(A) ̸= 0, alors p (A ∩B) = p(A)× p A(B). Ainsi, A et B sont indépendants si, et seulement si, p(A)× p(B) = p(A)× p A(B) ⇔p(B) = p A(B) 3 LOI BINOMIALE SCHÉMA DE BERNOULLI Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues, l’une appelée « succès » de probabilité p et l’autre appelée « échec » de probabilité q = 1−p. La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes s’appelle un schéma de Bernoulli. EXEMPLE On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante. La probabilité du succès est p(S) = p, la probabilité de l’echec est p(S) = 1−p = q. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 14 Lycée JANSON DE SAILLY 4 décembre 2017 PROBABILITÉS Tle ES ISSUES S p S p S p S S S S q S S S S q S p S S S S q S S S S q S p S p S S S S q S S uploads/Industriel/ tes-2017-2018-probabilites 1 .pdf