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Université d’Alger1 Année: 2020/2021. Faculté des Sciences Département: MI Mast

Université d’Alger1 Année: 2020/2021. Faculté des Sciences Département: MI Master1 ASD: TD N◦3: Probabilité Exercice: 1 Soit un dispositif technique comprenant deux éléments montés en parallèle et fonctionnant indépendamment l’un de l’autre. Chaque élément a une ﬁabilité égale à p au cours d’une journée, et il n’y a pas de possibilité de réparation. Si Xn est la chaine de Markov qui modélise le nombre d’éléments en panne au début de la n-ème journée, • Déterminer la matrice des probabilités de transition et le graphe des transitions. • Si l’on admet que les deux éléments sont en état de fonctionnement à l’instant n = 0, quelle est la distribution du nombre d’éléments en panne après 1, 2, ..., n jours. Exercice: 2 Soit {N(t), t ≥0} un processus de comptage et Sn le temps écoulé jusqu’à la réalisation du nième événement. Montrer que P(N(t) = n) = P(Sn ≤t) −P(Sn+1 ≤t). Exercice: 3 Soit {N(t), t ≥0} un processus de Poisson de taux λ. Montrer que N(t) ⇝P(λt) Exercice: 4 Soit {N1(t), t ≥0}, {N2(t), t ≥0} deux processus de Poisson de taux λ1, λ2 1. Montrer que {N1(t) + N2(t), t ≥0} est un processus de Poisson de taux λ1 + λ2 2. Montrer que la probabilité que la première occurrence du processus N1 + N2, soit issus de N1 est λ1 λ1+λ2 Exercice: 5 Soit {X(t), t ≥0} un processus de Poisson de paramètre λ. On suppose que chaque arrivée est enregistrée avec une probabilité p, indépendamment des autres arrivées. Soit {Y (t), t ≥0} le processus "des arrivées enregistrées". Démontrer que {Y (t), t ≥0} est un processus de Poisson de taux pλ Exercice: 6 Soient {N1(t), t ≥0}, {N2(t), t ≥0} deux processus de Poisson indépendants de paramètres λ1, λ2 Quelle est la distribution du nombre d’evénements X de N1 se produisant entre deux evéne- ments consécutifs de N2 1 uploads/Industriel/ td3.pdf