Espaces de Banach Partie 2 sur 3 du cours de topologie et calcul diff´ erentiel.

Espaces de Banach Partie 2 sur 3 du cours de topologie et calcul diff´ erentiel. Patrick Bernard November 21, 2013 1 Espaces Vectoriels Norm´ es Nous consid` ererons des espaces vectoriels sur R. Une norme sur l’espace vectoriel E est une fonction n : E − →R+ telle que 1. n(ax) = |a|n(x) pour tous x ∈E, a ∈R. 2. n(x + y) ⩽n(x) + n(y) pour tous x, y ∈E. 3. n(x) = 0 ⇔x = 0. Si seules les deux premi` eres propri´ et´ es sont satisfaites, on dit que n est une semi-norme. On associe ` a toute norme n une distance d sur E d´ efinie par d(x, y) = n(y −x). Si n n’est qu’une semi-norme, d est une semi-distance. On est souvent amen´ e ` a construire des fonctions n : E − →[0, ∞] qui satisfont les trois propri´ et´ es ci-dessus. On v´ erifie alors que le sous ensemble En ⊂E des points en lesquels n prend une valeur finie est un sou-espace vectoriel de E, et que (En, n) est un espace vectoriel norm´ e. On dit que E est un espace de Banach si c’est un espace vectoriel norm´ e complet. On rappelle le crit` ere classique Proposition 1. L’espace vectoriel norm´ e E est complet si et seulement si toute suite normalement convergente est convergente. Exemple 2. Sur l’espace RN des suites r´ eelles, on d´ efinit les ”normes” ` a valeurs dans [0, ∞] np(x) = ( X |xi|p)1/p pour 1 ⩽p ⩽∞, et n∞(x) = sup |xi|. On note lp, 1 ⩽p ⩽∞les espaces norm´ es correspondants. lp est donc l’espace des suites x telles que np(x) < ∞, il est muni de la norme np. Proposition 3. Soient E et F des espaces vectoriels norm´ es et soit L : E − →F une application continue. On a ´ equivalence entre: 1. L est continue en 0 2. L est continue 3. L est uniform´ ement continue 4. L est Lipschitz 1 5. L est born´ ee sur BE, la boule unit´ e de E On pose alors ∥L∥= supx∈BE ∥L(x)∥F . D´ emonstration. Si L est continue en 0, alors il existe δ > 0 et ϵ > 0 tel que ∥L(x)∥F < ϵ pour ∥x∥E < δ. Mais alors ∥L(x)∥F < ϵ/δ sur BE. Si ∥L∥est born´ ee par M sur BE, alors ∥L(x) −L(x′)∥F = ∥x′ −x∥E∥L((x −x′)/∥x′ −x∥E) ⩽M∥x′ −x∥E pour tous x ̸= x′ dans E, donc L est Lipschitz. Les autres implications sont ´ evidentes. On a alors: Proposition 4. L’ensemble L(E, F) des applications lin´ eaires continues est un espace vectoriel norm´ e, il est complet si F l’est. D´ emonstration. La restriction ` a la boule unit´ e est une isom´ etrie i de L(E, F) dans C( ¯ BE, F), l’espace des fonctions continues muni de sa norme habituelle. L’image i(L(E, F)) est l’ensemble des applications qui sont lin´ eaires sur BE, c’est ` a dire des applications f ∈C( ¯ BE, F) telles que f(ax + by) = af(x) + bf(y) pour tous a, b ∈R et x, y ∈¯ BE tels que ax+by ∈BE. En effet, si f est une telle application, on peut prolonger f de mani` ere homog` ene ` a E tout entier en posant L(x) = ∥x∥f(x/∥x∥)∀x ̸= 0. On v´ erifie que L est ´ egale ` a f sur ¯ BE et qu’elle est homog` ene de degr´ e un, c’est ` a dire que L(ax) = aL(x) pour tout a ∈R. Finalement, on a L(x + y) = ∥x + y∥L  x + y ∥x + y∥  = ∥x + y∥f  x ∥x + y∥+ y ∥x + y∥  = ∥x + y∥f  x ∥x + y∥  + ∥x + y∥f  y ∥x + y∥  = L(x) + L(y). L’image de i est donc ferm´ ee, elle est donc compl` ete puisque C( ¯ BE, F) l’est. On conclut que L(E, F) est compl´ et. Deux normes n1 et n2 sont dites ´ equivalentes si il existe une constante C ⩾1 telle que n1/C ⩽ n2 ⩽Cn1. Proposition 5. Si E est un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sur E sont ´ equivalentes, et munissent E d’une structure d’espace de Banach localement compact. D´ emonstration. On identidie E ` a Rd une fois pour toutes au moyen d’une base. On munit d’abord Rd de la norme n∞(x) = max |xi|. Les boules ferm´ ees pour cette norme sont compactes, car ce sont des produits d’intervalles compactes. Si n est une autre norme, alors n(x) ⩽n∞(x) n(e1) + n(e2) + · · · + n(ek)  , o` u ei est la base canonique. On en d´ eduit que n est une fonction continue sur (Rd, n∞). Soit S = {x ∈Rd, n∞(x) = 1}. C’est un compact pour la norme n∞. Comme la fonction n est continue et strictement postitive sur ce compact, elle est minor´ ee par a > 0. On a alors n(x) = n∞(x)n(x/n∞(x)) ⩾an∞(x) 2 pour tout x ∈Rd. R´ eciproquement, Proposition 6. Les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes pour un espace vectoriel norm´ e (E, ∥.∥): 1. E est de dimension finie 2. E est localement compact 3. La boule unit´ e ferm´ ee ¯ BE est compacte. D´ emonstration. Montrons que 3 ⇒1. Si E est de dimension infinie, on construit par r´ ecurrence une suite xn ∈SE, la sph` ere unit´ e, telle que d(xn+1, vect(x1, . . . , xn)) ⩾1/2. On observe alors que d(xn, xm) ⩾1/2 pour n ̸= m, et donc que la suite xn n’a pas de sous-suite convergente. Pour construire la suite xn, on utilise le lemme ci-dessous. Lemme 7. Soit F ⊊E un sous-espace vectoriel non dense d’un espace vectoriel norm´ e. Alors il existe x ∈E tel que ∥x∥= 1 et d(x, F) ⩾1/2. D´ emonstration. Fixons y ∈E −¯ F, de sorte que d(y, F) > 0. Il existe f ∈F tel que ∥y −f∥⩽2d(y, F) = 2d(y −f, F). On consid` ere alors le point x = y −f/∥y −f∥, qui v´ erifie d(x, F) = d(y −f, F)/∥y −f∥⩾1/2. Lorsque F est de dimension finie, on peut mˆ eme trouver x tel que ∥x∥= 1 et d(x, F) = 1. Il suffit pour le montrer de v´ erifier dans la preuve ci-dessus que la fonction f 7− →∥y −f∥atteint son minimum sur F. Comme ∥y −f∥⩾∥f∥−∥y∥ on voit que l’infimum sur F (qui est major´ e par ∥y∥) est ´ egal ` a l’infimum sur la boule ¯ BF (2∥y∥). Cet infimum est atteint car la boule est compacte. On va voir maintenant une classe d’espaces dans lesquels le minimum est toujours atteint. 2 Espaces de Hilbert Un produt scalaire (r´ eel) sur E est une forme bilin´ eaire sym´ etrique ⟨., .⟩telle que ⟨x, x⟩> 0 pour tout x ̸= 0. On note alors ∥x∥:= p ⟨x, x⟩, qui est une norme sur E comme nous allons le v´ erifier. On dit que x est orthogonal ` a y, not´ e x ⊥y, si ⟨x, y⟩= 0. On voit alors en d´ eveloppant que x ⊥y si et seulement si ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2. Propri´ et´ e 8. La fonction ∥.∥est une norme. Elle v´ erifie l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwartz (x, y) ⩽∥x∥∥y∥, avec ´ egalit´ e si et seulement si il existe α > 0 et β > 0 tels que αx = βy. Elle v´ erifie aussi l’´ egalit´ e du parall´ elogramme x + y 2 2 + x −y 2 2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 2 pour tous x et y dans E. 3 Une norme est pr´ e-Hilbertienne si et seulement si elle satisfait l’´ egalit´ e du parall´ elogramme. D´ emonstration. Pour prouver l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwartz, on peut supposer que ∥x∥= 1. On pose alors z = y −(x, y)x. On remarque en d´ eveloppant que (x, z) = 0, et donc que ∥y∥2 = ((x, y)x + z, (x, y)x + z) = (x, y)2 + ∥z∥2 dont on d´ eduit que ∥y∥2 ⩾(x, y)2, avec ´ egalit´ e si et seulement si y = (x, y)x. Pour montrer que ∥.∥ est une norme, on ´ ecrit ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 + 2⟨x, y⟩⩽∥x∥2 + ∥y∥2 + 2∥x∥∥y∥⩽(∥x∥+ ∥y∥)2. L’´ egalit´ e du parall´ elogramme se prouve en d´ eveloppant les produits scalaires. La r´ eciproque men- tionn´ ee apr` es l’´ enonc´ e est plus difficile, on ne la traite pas ici. Un espace de Hilbert est un espace pr´ e-Hilbertien complet. Voici une propri´ et´ e tr` es utile des espaces de Hilbert: Th´ eor` eme 1. Soit H un espace de Hilbert, F un sous-espace ferm´ e de H, et x un point de H. Alors il existe un unique point z ∈F tel que d(x, F) uploads/Industriel/ topologie-et-calcul-diff-poly-partie-2.pdf

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