Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Fascicule de devoirs 1ère année pour BTS Conception de produits industriels Ann

Fascicule de devoirs 1ère année pour BTS Conception de produits industriels Année 2009 – 2010 : Une moitié de l’année scolaire… tscp 1 Devoir n°1 I. 1) Dériver les 2 fonctions u et v définies par les égalités u(x)= 3 x et v(x) = x e 2  . 2) Soit h la fonction définie sur ℝ par h(x)= x e x 2 3  . Calculer la dérivée de h à partir de la question précédente. 3) Calculer h’(x) + 2 h(x). ________________________ II. 1) Dériver la fonction g définie par g(t) = t sin t . 2) Dériver la fonction h définie par h(t) = t 2 cos(3t). _________________________ III. 1) Dériver la fonction numérique f définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x ln x – x. 2) En déduire les sens de variation de f sur ]0 ; +∞[. 3) Trouver sur ]0 ; +∞[ la fonction primitive de ln prenant la valeur 0 en 1. _______________________ 1) Prouver que f est définie sur [0 ; +∞[. Calculer la fonction dérivée de f. 2) Calculer une fonction primitive de f sur [0 ; +∞[. 3) Trouver la primitive h de f sur [0 ; +∞[ telle que h(0) = 0. Extraits de formulaire : Dérivées et primitives f(t) f’(t) f(t) f’(t) tα (αℝ) ln t cos t sin t ℝ α.tα–1 – sin t cos t e αt (α ℂ) ℂ α. e αt La notation porte sur la clarté, la précision et la qualité dans la rédaction. tscp 1 Corrigé du devoir n°1 2) Le signe de ln étant connu ( de plus ln 1 = 0), on obtient le tableau : x 0 1 +∞ f ’(x) = ln x – 0 + f –1 IV. 1) ≤ t 4 ≤ t +4 . En particulier f est définie sur [0 ; +∞[. Il en est de même pour la fonction g définie par 4 ≤ 4 ≤ 4 F est une primitive de f sur [0 ; +∞[. ≤ 4 4 4 4 4 ≤ tscpi1 Devoir n°2 I. Soit (E) l’équation différentielle x y’–3 y = 0 où y est une fonction numérique de la variable réelle x, définie et dérivable sur ]0, + [. 1) Résoudre sur ]0, +[ l’équation différentielle (E). 2) Trouver la solution particulière f de (E) telle que f(1) = 3. II. On se propose de trouver sur ]0, +[ la solution f de l’équation différentielle linéaire (E) : xy’ + (x–2)y =0 où y est une fonction numérique de la variable réelle x,définie et dérivable sur ]0, +[ telle que f(1) = 1 . 1) On écrit pour 0<x, h(x)= 1– x 2 . Trouver sur ]0, +[ une primitive de h. 2) Résoudre sur ]0, +[ l’équation différentielle (E). 3) Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) prenant la valeur 1 pour x=1. III. Soit (E) l’équation différentielle y’+ y = 2 1 e-x où y est une fonction numérique de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ. 1) Résoudre sur ℝ l’équation différentielle (E0) : y’+ y =0. 2) Dériver les deux fonctions x↦ 2 x et x ↦ e–x. 3) Soit h la fonction définie sur ℝ par h(x)= x e x  2 . Vérifier si h est une solution de (E). Extraits de formulaire : Dérivées et primitives f(t) f’(t) f(t) f’(t) tα (αℝ) ln t ℝ α.tα–1 1/t e αt (α ℂ) ℂ α. e αt tscpi1 Corrigé du devoir n°2 I 1) On écrit pour 0<x, r(x)= x 3  = -3( x 1 ) et R(x)= -3 ln x : R’(x)= r(x). Sur ]0, + ∞[, les solutions de (E) sont toutes les fonctions x ↦ Ce3lnx = Cx3 où C est une constante réelle. 2) Pour f solution de (E) sur ]0, +∞[ on écrit pour 0<x, f(x)= Cx3 où C est une constante réelle. Alors f(1)= C(1)3=C et f(1)=3 pour C=3. Finalement la fonction f cherchée est définie par f(x)= 3x3 pour 0< x. II.1) On écrit pour 0 < x, H(x)= x – 2 ln x et ainsi : H’(x)= 1– 2 ( x 1 ) = 1– x 2 . On a bien : Pour 0<x, H’(x)=h(x) . 2) On écrit pour 0<x, r(x)= ) ( 2 1 2 2 x h x x x x x x       R(x) = H(x)= x– 2 ln x ; R’(x)=h(x)= r(x). e-R(x) = e-x+2ln x=e-x e2lnx = e-x x2 Sur ]0, +∞[, les solutions de (E) sont toutes les fonctions x ↦ C e-x x2 où C est une constante réelle. III. 1) On écrit r(x)= 1/1 =1 et R(x)=x : R’(x)=r(x). Les solutions de (E0) sont toutes les fonctions x ↦ Ce-x où C est une constante réelle. 2) On doit remarquer que x x 2 1 2  et que –x= (-1)x pour dire que: La fonction x ↦ x/2 a pour fonction dérivée x ↦ 1/2 La fonction x ↦ -x a pour fonction dérivée x ↦ -1 et que la fonction x ↦ e-x a pour fonction dérivée x ↦ (-1)e-x. 3) À partir de l’égalité h(x)= x e x   2 , on obtient : h’(x)=(1/2)e-x + (x/2)[-e-x]= x x e x e  2 2 1 , soit : h’(x)= x e 2 1 –h(x) . Finalement h’(x)+ h(x) = x e 2 1 pour tout réel x. On a bien prouvé que h est une solution de (E) sur ℝ. Devoir surveillé n° 3 tscpi1 I. On se donne les 2 équations différentielles suivantes : (E) :  x dt dx t 4 0 (F) :  x dt dx t 4 4.t4– 5 t3 où x est une fonction de la variable réelle t , avec 0 < t , et dt dx est la fonction dérivée de x. 1°) Résoudre (E) sur ] 0 ; +[ . 2°) x étant une fonction numérique définie et dérivable sur ]0, +[, on écrit pour 0<t, x(t)= t4. k(t) où forcément k(t)=x(t)/t4 : k est une fonction définie et dérivable sur ]0, + [. a) Que donne le calcul t.x’(t)–4.x(t) en fonction de k’(t) et k(t) ? b) Calculer k pour que x soit une solution de (F). 3°) Résoudre (F) sur ] 0 ; +[ . 4°) Trouver la solution x1 de (F) telle que x1(1)=0. II On considère les 2 équations différentielles (E0) : x.y’+2.y=0 et (E) : x.y’+2.y=10 x–1 où y désigne une fonction numérique de la variable réelle x, y’ sa fonction dérivée et x appartient à l’intervalle ]0, +[. 1°) Résoudre (E0) sur ]0, +[. 2°) Avec a et b réels constants on écrit s(x)=ax+b pour 0<x. Calculer a et b pour que s soit une solution particulière de (E). 3°) En déduire toutes les solutions de (E) sur ]0, +[. 4°) Trouver la solution particulière f de (E) qui vérifie f(1)=2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Extraits de formulaire : Dérivées et primitives f(t) f’(t) f(t) f’(t) tα (αℝ) ln t ℝ α.tα–1 t 1 e αt (α ℂ) t 1 ℂ α. e αt 2 1 t  Corrigé du devoir n° 3 tscpi1 I.1°) On écrit pour 0<t, r(t)=-4/t=-4(1/t) et R(t)=-4.ln t : R’(t)=r(t) et e-R(t)=e4.ln t= t4. Ainsi sur ]0, +[, les solutions de (E) sont toutes les fonctions t↦ C.t4 où C est une constante réelle. 2°)a) Pour 0<t, x’(t)= 4t3.k(t)+t4.k’(t) d’où t.x’(t)=4(t t3)k(t)+(t t4).k’(t)=4.t4.k(t)+t5.k’(t). 4.x(t)= 4.t4.k(t). De cette manière : t.x’(t)–4.x(t)= t5.k’(t) pour 0<t. 2°)b) Les propriétés {...} suivantes sont équivalentes : { x est solution de (F) sur ]0, +[}, {t.x’(t)–4.x(t)= 4.t4–5 t3 pour 0< t}, {t5.k’(t)= 4.t4–5 t3 pour 0<t}, {k’(t)= 5 3 4 5 4 t t t  = 4. t t t  4 4 –5 2 3 3 t t t  = 4 ) 1 ( 5 1 2 t t   pour 0< t}, {k est sur ]0, +[ une primitive de la fonction t ↦ 4 ) 1 ( 5 1 2 t t   }, {k(t)=4.ln t +5(1/t)+ C pour 0< t, avec C constante réelle}. Finalement : x est solution de (F) sur ]0, +[ si et seulement si : k(t)=4.ln t +5/t+ C pour 0< t, avec C constante réelle. 3°) On utilise les notations, la rédaction et les résultats de la question précédente pour k : x est solution de (F) sur ]0, +[ si et seulement si : x(t)=t4.( 4.ln t +5/t+ C)=4t4ln t +5t3+Ct3 pour 0< t, avec C constante réelle. 4°) x1 étant une solution de (F), on a pour 0<t, x1(t)= 4t4ln t +5t3+Ct3 avec C constante réelle. x1(1)=410+51+ C =5+C. Alors x1(1)=0 pour C= -5. La fonction cherchée x1 est définie par : x1(t)= 4t4ln t +5t3–5t3pour 0<t. II.1°) On écrit pour 0<x, r(x)=2/x=2(1/x) et R(x)=2.ln x : R’(x)=r(x) et : e-R(x)=e -2.ln x= x -2= 1/x2. Ainsi sur ]0, +[, les solutions de (E0) sont toutes les fonctions x↦ C(1/x2) =C/x2 où C uploads/Industriel/ tscpi-1-2009-2010-devoirs-surveilles.pdf