ÉLÉMENTS DE DYNAMIQUE LAGRANGIENNE ET HAMILTONIENNE État actuel du polycopié Ch

ÉLÉMENTS DE DYNAMIQUE LAGRANGIENNE ET HAMILTONIENNE État actuel du polycopié Chapitre 1 INTRODUCTION AUX PROBLÈMES À  CORPS …… 1 2 THÉORÈMES CLASSIQUES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE …… 14 3 LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE …… 32 4 THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE EN COORDONNÉES GÉNÉRALISÉES …… 50 5 PRINCIPE DE D’ALEMBERT …… 63 6 PRINCIPE DE HAMILTON …… 83 7 FORMALISME LAGRANGIEN …… 103 8 DYNAMIQUE HAMILTONIENNE …… 114 8bis ESPACE DES PHASES – ESPACE DES ÉTATS …… 134 9 TRANFORMATIONS CANONIQUES …… 148 10 THÉORIE DE HAMILTON-JACOBI …… 164 11 CROCHETS DE POISSON …… 183 12 VARIABLES ANGLE-ACTION …… 195 bibliographie …… 209 T. Gourieux □ 2016 Université de Lorraine/Nancy - 1 - Chapitre 1 INTRODUCTION AUX PROBLÈMES À  CORPS Après avoir introduit les conditions typiques d’un problème à  corps, on définit la notion de degrés de liberté d’un tel système en rapport avec les éventuelles liaisons que celui-ci peut se voir imposer. On discute ensuite des forces qui sont associées à ces liaisons et de la définition de ces forces qui est adoptée ici. On introduit enfin la notion de coordonnées généralisées et d’espace de(s) configuration(s) du système. 1. Problème à  corps. Introduction et notations. On considère une collection d’objets assimilable à un ensemble de  points matériels  ,  = 1,2, … ,  ,  ≥1. Chaque point matériel   se meut sous l’effet d’un ensemble de forces aux origines diverses dont la résultante est dénommée . Le problème à  corps consiste alors à déterminer la trajectoire suivie par chacun de ces points matériels au cours du temps, par rapport à un certain référentiel ℛ,  considéré comme fixe. Il est entendu dans ce problème que les positions et vitesses de chacun des points matériels qui constituent le système sont connues à une date  souvent prise pour origine des temps. Le choix du référentiel est arbitraire mais il est commode d’adopter a priori un référentiel galiléen. Chaque point - 2 - matériel   est repéré au sein de ce référentiel par un vecteur- position :   ∶=    =    ! "   #  $ "    % de sorte que les  ,  = 1,2, … ,3, forment l’ensemble de toutes les coordonnées cartésiennes des  points matériels du système. On a coutume d’appeler ce jeu de coordonnées les paramètres (ou coordonnées) primaires du système. On écrira de même les vecteurs-vitesse et -accélération de chacun de ces points matériels : '  ∶= (   ( ) ℛ = *   ! " *  #  $ " *   % +  ∶= ('  ( ) ℛ = ,   ! " ,  #  $ " ,   % Comme indiqué, ces quantités sont estimées par rapport au référentiel galiléen ℛ, . Les composantes cartésiennes des forces ,  = 1,2, … , , seront notées  ,  = 1,2, … ,3, au sens où :  =    ! "   #  $ "    % - 3 - Enfin, chaque point matériel   possède une masse - que l’on conviendra de noter également : -  = -  # = -  ,  = 1,2, … , ,  = 1,2, … ,3, de façon à pouvoir lister ces masses à notre convenance, soit par l’indice grec  soit par l’indice latin , en ayant en tête la signification différente de ces deux types d’indiciation. Avec ces notations, le mouvement de chaque point matériel   est régi par la seconde loi de Newton qui s’écrit : - +  = *  En général, les forces  sont des données du problème et peuvent dépendre de la position et de la vitesse de la particule  ainsi que des positions et des vitesses des autres particules du système, de même que du temps , ainsi que d’autres paramètres comme par exemple une intensité caractéristique de champ électrique, une fréquence de vibration, la constante de gravitation, etc… Ce que l’on résume par :  = . /, ' /, , 012 où 3 = 1,2, … ,  et où 4 = 1,2, … , , si est le nombre de paramètres nécessaires pour caractériser complétement les origines de . Ainsi, déterminer la trajectoire  () suivie par chacun des points matériels   sous l’effet de ces forces revient techniquement à résoudre un système de  équations différentielles vectorielles couplées, du second ordre, et généralement non linéaires. Ce système se décline - 4 - naturellement en un système de 3 équations différentielles scalaires du second ordre aux 3 inconnues  qui s’écrit, eu égard aux notations adoptées et en ignorant les paramètres 01 (, 7 = 1,2, … ,3) : - , = * (8, *8, ) 2. Liaisons et degrés de liberté du système. Forces de liaison. Dans le problème à  corps tel qu’il vient d’être formulé, les inconnues sont les  qu’il s’agit de déterminer en fonction du temps. Leur nombre est 9ℓ= 3. Il n’est pas rare toutefois que le système étudié soit tel que des relations sont données à l’avance entre certaines coordonnées et/ou leurs dérivées temporelles, ou encore que certaines coordonnées associées à ce système soient déjà connues en fonction du temps. On dit alors que le système est soumis à des liaisons ou assujettissements. Liaisons - L’existence de liaisons préalables a pour conséquence de diminuer le nombre réel d’inconnues à déterminer, parfois considérablement. Par exemple, si les  points matériels forment un objet solide indéformable qui évolue dans l’espace, seules 6 coordonnées parmi les 3 sont réellement nécessaires pour situer la position et l’orientation de cet objet solide dans l’espace, toutes les autres coordonnées pouvant s’exprimer en fonction de ces 6 variables indépendantes. On dit alors que le nombre de degrés de liberté du système est 9ℓ= 6. - 5 - Définition : le nombre 9ℓ de degrés de liberté d’un système est défini comme le nombre minimum de variables indépendantes nécessaires à la description complète de ce système ; une description complète signifiant que le mouvement de chacun des points matériels composant le système peut être décrit à l’aide seulement de ces 9ℓ variables déterminées en fonction du temps. Lorsqu’il n’existe aucune liaison donnée à l’avance, on dit que le système est libre ; le nombre de degrés de liberté d’un système libre est : 9ℓ= 3. Une liaison impose donc une ou plusieurs relations entre les coordonnées (primaires ou tout autre jeu de variables que l’on aura choisi) et/ou leurs dérivées, le temps pouvant aussi intervenir explicitement dans ces relations. Elles s’expriment soit par des égalités soit par des inégalités qui doivent être respectées tout au long de l’intervalle de temps durant lequel on examine le mouvement du système. En se limitant aux cas où seules des égalités surviennent, on peut conclure que s’il existe < équations de liaison (une liaison pouvant donner lieu à plusieurs équations), alors le nombre de degrés de liberté du système à l’étude sera : 9ℓ= 3 −<. Une équation de liaison peut toujours s’écrire sous la forme ( = 1, … ,3) : >(, *, ) = 0 - 6 - On dit de cette équation de liaison qu’elle est bilatérale (une inégalité du type >(, *, ) ≥0 est qualifiée d’unilatérale). Si le temps  apparaît explicitement dans l’équation de liaison, elle est dite rhéonome ; sinon elle est dite scléronome. Si au moins un * y est présent, l’équation de liaison est dite cinématique ou encore non-holonome. Dans le cas contraire l’équation de liaison est dite géométrique ou bien holonome. Certaines équations de liaison a priori non-holonomes peuvent se ramener à des équations holonomes par simple intégration, ce qui induit une classification des liaisons plus subtile que celle qui est ébauchée ici. Forces de liaison - Les forces qui concourent au maintien des liaisons, et qui sont bien sûr incluses dans les , ne sont pas à proprement parler des données du problème : elles sont introduites dans le bilan des forces précisément pour rendre compte des liaisons imposées et font office d’inconnues auxiliaires. Ces forces sont donc le plus souvent mal connues et on les détermine en fait grâce aux équations de Newton assorties des relations de liaison auxquelles elles se réfèrent. Définition : on appelle force(s) de liaison associée(s) à une liaison donnée la ou les forces qui ne servent qu’à maintenir cette liaison tout au long du mouvement considéré. Cette définition a pour conséquence que le travail réalisé par de telles forces est toujours nul pour des déplacements du système respectant la liaison en question. On y reviendra au chapitre 5. - 7 - Précision - Il faut signaler qu’avec cette définition, une force de liaison ne s’identifie pas à proprement parler avec ce que l’on a coutume d’appeler « force de réaction ». En uploads/Industriel/dynamique-lagrangienne-et-hamiltonienne-cours-l3-pdf.pdf

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Industrielfonction équations système variables forces
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